永定一中2014届高中毕业班适应性考试

理 科 数 学

本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．本卷满分150分，考试时间120分钟．

参考公式：

样本数据x1，x2， …，xn的标准差 锥体体积公式

s=
　　　　V=
Sh

其中为样本平均数 其中S为底面面积，h为高

柱体体积公式 球的表面积、体积公式

V=Sh
，

其中S为底面面积，h为高 其中R为球的半径

第I卷（选择题 共50分）

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 已知集合
，则

A.
B.

C．
D．

2．设随机变量
服从正态分布
～
，且

，则实数的值为

A．4 B．6 C．8 D．10

3．已知某算法的流程图如图所示，输入的数和为自然数，若已知 输出的有序数对为
，则开始输入的有序数对
可能为

A.
B.
C.
D.

4．已知平面
和直线
，给出条件：①
；②
；③
；④
；⑤
．为使
，应选择下面四个选项中的（ ）

A．③⑤ B．①⑤ C．①④ D．②⑤

5. 设等差数列
的前n项和为
，若
，
，则使
>0的最小正整数n的值是

A．8 B．9 C．10 D．116．将函数
的图像分别向左平移
个单位，向右平移n(n>0)个单位，所得到的两个图像都与函数
的图像重合，则
的最小值为

A．
B．
C． D．

7．已知⊙
经过双曲线
的一个顶点和一个焦点，圆心
在双曲线
上，则
到双曲线
的中心的距离为

A．
B．
C．
D．

8．函数
的部分图象可能为

A B C D

9．设
，在约束条件
下，目标函数
的最大值小于2，则的取值范围为

A．(1，1＋
)　 B．
C．(1，3) D．

10．已知正三棱柱
（底面为正三角形，侧棱垂直于底面）的正（主）视图和侧（左）视图如图所示．设
、
的中心为
，现将此三棱柱绕直线
旋转．射线
旋转所成的角为弧度（可取任一实数，逆时针为正角，顺时针为负角）.对应的俯视图的面积为
，则
的最小正周期和值域分别为

A．
，
B.
，

C.
，
D.
，

第II卷 （非选择题共100分）

二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分．把答案填在答题卡相应位置．

11．若点
在直线
上，则
___________．

12．若二项式
的展开式中含
的系数为
，则
的值为_________.

13．直线
与曲线
有四个交点，则的取值范围是_________．

14. 已知
中，角，,
所对的边分别为，
，，若
且
,则
的面积的最大值为　 .

15．已知、为椭圆
=1的左、右顶点．（异于、）为椭圆上动点，
于
，
，直线
与
交于点
，则当
=_________时，
到
的距离为定值．

三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．

16.（本小题满分13分）

为增强市民的节能环保意识,某市面向全市征召义务宣传志愿者.从符合条件的500名志愿者中随机抽取100名志愿者,其年龄频率分布直方图如图所示,其中年龄分组区间是:
.

(I)求图中的值，并根据频率分布直方图估计这500名志愿者中年龄在
岁的人数；

(II)在抽出的100名志愿者中，按年龄采用分层抽样的方法抽取10名参加中心广场的宣传活动,再从这10名中采用简单随机抽样方法选取3名志愿者担任主要负责人.记这3名志愿者中“年龄低于35岁”的人数为
,求
的分布列及数学期望.

17．（本小题满分13分）

若抛物线
：
的焦点与椭圆
的右焦点重合，椭圆的上顶点为，右顶点为,椭圆的左、右焦点为
，

（Ⅰ）求椭圆
的标准方程；

（Ⅱ）若斜率为
的直线
，过点
，且与椭圆
交于
两点.

为
的中点，且
，求斜率
的值.

18．（本小题满分13分）

如图1，在
△ABC中，∠ACB=30°，∠ABC=90°，D为AC中点，
于，延长AE交BC于F，将ABD沿BD折起，使平面ABD平面BCD，如图2所示．

（Ⅰ）求证：AE⊥平面BCD；（Ⅱ）求二面角A–DC –B的余弦值；

（Ⅲ）在线段
上是否存在点
使得
平面
？若存在，请指明点
的位置；若不存在，请说明理由．

图1 图2

19. （本小题满分13分）如图，折线段
是长方形休闲区域ABCD内规划的一条小路，已知
百米，
（
）百米，点在以A为圆心，AB为半径的圆弧上，
，Q为垂足．

（Ⅰ）试问点在圆弧何处，能使该小路的路程最短？最短

路程为多少？

（Ⅱ）当
时，过点P作
，垂足为M．若将

矩形
修建为观赏水池，试问点在圆弧何

处，能使水池的面积最大？

20．（本小题满分14分）

已知函数
，
.（其中
表示函数
在
处的导数，为正常数）

（Ⅰ）求
的单调区间；

（Ⅱ）对任意的正实数
，且
，

证明：
；

（Ⅲ）若对任意的
，且
时，有

.

求证：

21.本小题（1）（2）（3）三个选做题，每小题7分，请考生任选2题作答，满分14分，如果多做，则按所做的前两题计分.作答时，先用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑.

（1）（本小题满分7分）选修4-2：矩阵与变换

已知
为矩阵

属于特征值
的一个特征向量．

（Ⅰ）求实数
的值； （Ⅱ）求矩阵的逆矩阵.

（2）选修4—4:坐标系与参数方程

在平面直角坐标系
中，直线
的参数方程为
（为参数），直线
与曲线
交于
两点

（Ⅰ）求
的长；

（Ⅱ）在以
为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设点的极坐标为
，求点到线段
中点
的距离．

（3）选修4－5：不等式选讲

设函数

（Ⅰ）当
时，求函数
的定义域；

（Ⅱ）若函数
的定义域为,求实数的取值范围.

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