福建省宁德市2014届普通高中毕业班5月质检

数学（文科）试卷

（2014年5月）

本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．本卷满分150分，考试时间120分钟．

注意事项:

1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．

2．考生作答时，将答案答在答题卡上．请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效．在草稿纸、试题卷上答题无效．

3．选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；非选择题答案使用0．5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚．

4．保持答题卡卡面清楚,不折叠、不破损．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．

参考公式：

第I卷（选择题 共60分）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．命题“若
,则
”的否命题是

A．若
,则
B．若
,则

C．若
,则
D．若
,则

2. 已知集合
，
，则

A.
B.

C.
D.

3．设向量
，
, 若
方向相反,则
的值是

A．
B．
C．
D．

4．函数
是

A．奇函数且单调递增 B．奇函数且单调递减

C．偶函数且单调递增 D．偶函数且单调递减

5．设
是两条不同的直线，
是两个不同的平面，则下列命题正确的是

A．若
，则

B．若

，
，则

C．若
，则

D．若
，
，则

6．阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序后输出
的值是

A. 3

B. 4

C. 5

D.
6

7
．已知一个几何体的三视图如图所示，根据图中尺寸

可得该几何体的表面积为

A．
B．

C．
D．

8．已知
是不等式组
所表示的平面区域内的

两个不同的点,则
的最大值是

A．
B．

C．
D．

9．过双曲线

，
的左焦点
作圆
:
的一条切线，

切点为
，双曲线右顶点为
，若
，
，
成等差数列,则双曲线的离心

率为

A．
B．
C．
D．

10. 任取
，则直线
与
轴、
轴围成的三角形的面积小于
的概率是

A.
B.
C.
D.

11．已知函数
，则下列结论正确的是

A．
，
在
上单调递减 B．
，
的最小值为

C．
，
有极大值和极小值 D．
，
有唯一零点

12．在锐角三角形
中，
分别为内角
的对边，若
，给出下列命题：

①
；②
；③
. 其中正确的个数是

A．
B．
C．
D．

第Ⅱ卷（非选择题 共90分）

二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填写在答题卡的相应位置．

13．已知复数
（其中
为虚数单位），则
.

14．设一个总体由编号为01,02,…,29,30的30个个体组成．利用下面的随机数表选取4个个体，选取方法是从随机数表第2行的第3列数字0开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第4个个体的编号为 .

78 16 65 72 08 02 63 14 07 02 43 69 69 38 74



32 04 94 23 49 55 80 20 36 35 48 69 97 28 01



15．已知实数
满足等式
，则
的最小值为 .

16．已知函数
是定义在
上的偶函数，满足：①
；②当
时，
．若
是
在
图象上不同的
个点，设
，

，
（
），则
________．

三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（本小题满分12分）

在等差数列
中，
，
．

（Ⅰ）求数列
的通项公式；

（Ⅱ）设
，若
成等比数列，求
的值．

18．（本小题满分12分）

如
图，正方形
与正方形
所在的平面互相垂直，
．

（Ⅰ）求证：
；

（Ⅱ）求多面体
的体积．

19．（本小题满分12分
）

已知函数
的图象过点
．

（Ⅰ）求函数
的解析式；

（Ⅱ）将函数
的图象上所有点的横坐标缩短到原来的
倍，纵坐标不变，得到函数
的图象，求函数
的单调递减区间．[来源:学§科§网]

20．（本小题满分12分）

某市为了了解市民对卫生管理的满意程度，通过问卷调查了学生、在职人员、退休人员共250人，结果如下表：

学生

在职人员

退休人员



满意





78



不满意

5



12



若在所调查人员中随机抽取1人，恰好抽到学生的概率为0.32.

（Ⅰ）求
的值；

（Ⅱ）现用分层抽样的方法在所调查的人员中抽取25人，则在职人员应抽取多少人？

（Ⅲ）若
，求市民对市政管理满意度不小于
的概率.

(注：
)

21．（本小题满分12分）

已知点
在抛物线
上，
为焦点，且
．

（Ⅰ）求抛物线
的方程；

（Ⅱ）过点
的直线
交抛物线
于
两点，
为坐标原点．

（ⅰ）求
的值；

（ⅱ）若以
为圆心，
为半径的圆与
轴交于
两点,求
的面积.

22．（本小题满分14分）

已知函数
在点
处的切线为
．

（Ⅰ）求实数
的值；

（Ⅱ）是否存在实数
，当
时，函数
的最小值为0，若存在，求出
的取值范围；若不存在，说明理由；

（Ⅲ）若
，求证：
．

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（2014年5月）

数学（文科）试题参考答案及评分标准

说明：

一、本解答指出了每题要考察的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解法不同，可根据试题的主要考察内容比照评分标准指定相应的评分细则。

二、对计算题，当考生的解答在某一部分解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分。

三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数。

四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分。

一、选择题：本题考查基础知识和基本运算．本大题共12小题，每小题5分，共60分．

1．D
2．B 3．D 4．A 5．C 6．B 7．A 8．B 9．C 10．B 11．D 12．C

二、填空题：本题考查基础知识和基本运算．本大题共4小题，每小题4分，共16分．

13．
； 14．
； 15．
； 16．
．

三、解答题：本大题共6小题，共74分．

17.本题主要考查等差数列、等比数列、数列求和等基础知识；考查推理论证与运算求解能力，满分12分．

解：（I
）设等差数列
的公差为
， [来源:学。科。网Z。X。X。K]

则
， 2分

解得
， 4分

∴
. 6分

（II）
………………………………9分

∵
成等比数列，

∴
，即
，…………………………………………………10分

又
，

.…………………………………………………………………………………12分

18．本题主要考查空间线与线、线与面的位置关系、体积的计算等基础知识；考查空间想象能力、运算求解能力及推理论证能力，满分12分．

（I）证明：
四边形
为正方形，

.…………………………………………………………………………2分

平面
平面
,平面
平面
,
平面

.……
……………………………………………………………5分

（II）设
,
交于
,

,四边形
为正方形,

.…………………………7分

,

∴
为四棱锥
的高

………………………………9分

.………………………………………………………………12分

即多面体
的体积为
.

19．本题主要考查三角恒等变换，三角函数的图象与性质等基础知识；考查运算求解能力，考查函数方程思想、数形结合思想．满分12分．

解：（I）

………………………………………………1分

. ……………………………………………………………3分

过点

. ………………………………………………………4
分

，

即
.

.…………………………………………………………6分

（II）依题意
可得
，…………………………………………8分

由

………………………………………………………9分

得

的单调递减区间为
.…………………………12分

20．本题主要考查概率、统计等基础知识，考查数据处理能力、抽象概括能力、运算求解

能力以及应用意识，考查或然与必然思想、化归与转化思想．满分12分．

解：（Ⅰ）依题意可得
…………………………………………………2分

解得
.……………………………………………………………………3分

（II）∵学生人数为80，退休人员人数90，

∴在职人员人数为：
，……………………………………5分

可得在职人员应抽取
人.………………………………………7分

（III）由
，且
，

则基本事件
为

. [来源:Z&xx&k.Com]

共有9组. ……………………………………………………………………9分

由
得
,

所以满足条件的基本事件共有7组，………………………………………11分

故所求的概率
.…………………………………………………………12分

21．本题主要考查直线、圆、抛物线等基础知识及直线与圆锥曲线的位置关系；考查运算求解能力、推理论证能力；考查特殊与一般的思想、化归与转化思想．满分12分．

解法一：（I）抛物线
，

焦点
.……………………………………………………………1分

由抛物线定义得：

解得
，

抛物
线
的方程为
．……………………………………………3分

（II）（i）依题意可设过点
的直线
的方程为
，……………4分

由
，可得
，…………………………………5分

设
，

则
…………………………………………………6分

，………………………………………………7分

.…………………8分

（ii）设
，则

①

以
为圆心，
为半径的圆的方程为

…………………………………………………………………………………9分

令
，则

②

把①代入②可得

或
，

,……………………………………………………………11分

.…………………………………………12分

解法二
：

（Ⅰ）同解法一

（II）（i）①当
的斜率不存在时，
则

………………………………………………………………………………………4分

②当
的斜率存在时，设

由
，可得
，…………………………5分

设
，

则
…………………………………………………6分

……………………………………………………………………………………7分

.…………………8分

（ii）设圆
的半径为
，

则
.…………………………
……………9分

又点
到
的距离为
，

……………………………………11分

.…………………………………………12分

22．本题主要考查函数、导数、不等式等基本知识；考查运算求解能力、推理论证能力；考查化归转化思想、函数方程的思想、分类整合思想、数形结合思想．满分14分．

解：（Ⅰ）
……………………………………………………1分

依题意可得
,……………………………………………………3分

解得
.……………………………………………………………………4分

（II）

,…………………………………………………………5分

①当
时，
∴
在
上单调递减，

.………………………………………………………………6分

②当
时，
在
上单调递减,

………………………………………………………………7分

③当
时，
在
恒成立，
在
恒成立,

在
上单调递减，在
上单调递增

…………………………………………………8分

综上所述，存在
满足题意，其范围为
.………………………………9分

（III）解法一：由（II）知，
时，
在
上单调递减,

时，
,

即
.………………………………………………………11分

,

,

,[来源:学科网]

,

,

.…………………………………………………………………14分

（III）解法二：

设

.

当
，

在
上单调递减

,……………………………………………………………11分

时，

,

,

.………………………………………………………………14分