福建省南靖四中2014届高三高考模拟理科数学试卷 2014.05.11

本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题),第Ⅱ卷第21题为选考题，其他题为必考题．本试卷共6页．满分150分，考试时间120分钟．

注意事项：

1．答题前,考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．

2．考生作答时,将答案答在答题卡上.请按照题号在各题的答题区域(黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效.在草稿纸、试题卷上答题无效．

3．选择题答案使用2B铅笔填涂,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号;非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性(签字)笔或碳素笔书写,字体工整、笔迹清楚．

4．做选考题时、考生按照题目要求作答,并用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑．

5．保持答题卡卡面清洁,不折叠、不破损.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.

参考公式：

本数据x1,x2,…,xn的标准差

其中
为样本平均数;

柱体体积公式

其中S为底面面积,h为高

锥体体积公式

其中S为底面面积,h为高

球的表面积、体积公式

，

其中R为球的半径

（选择题 共50分）

一、选择题：本大题有10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．

1．若复数
（为虚数单位）是纯虚数，则实数

A.
B.
C.
D.

2．已知集合
，
则
等于

A．
B．{1,2} C．{2,3} D．{1,2,3}

3．已知定义在R上的函数
满足
，且
时
，则

A．-1 　　　　 B．0 　　 C．1 　　　　 D．1或0

4．在△ABC中，若B、C的对边边长分别为
，
，则
等于

A．
B．
C．
D．
或

5．已知

为非零向量，则“函数
为偶函数”是“
”的

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

6．已知A、B是两个不同的点，
是两条不重合的直线，
是两个不重合的平面，则①
，
；②
，
，
；③
，
；④
，
，
．其中真命题为

A．①③ B．①④ C．②③ D．②④

7．若连掷两次骰子，得到的点数分别为、，记向量
与向量
的夹角为
，则
的概率是

A．
B．
C．
D．

8. 已知在函数
（
）的图象上有一点
，该函数的图象与 x轴、直线x＝－1及 x＝t围成图形（如图阴影部分）的面积为S，则S与t的函数关系图可表示为

9．己知双曲线的方程为
，直线的方程为
，过双曲线的右焦点的直线与双曲线的右支相交于、
，以
为直径的圆与直线相交于
、，记劣弧
的长度为，则
的值为

A．
B．
C．
D．

10. 若在曲线
(或
)上两个不同点处的切线重合，则称这条切线为曲线
(或
)的自公切线，下列方程的曲线:

①
②
③
④

存在自公切线的是

A．①③ B．①④ C．②③ D．②④

第Ⅱ卷（非选择题 共100分）

二、填空题：本大题有5小题，每小题4分，共20分.把答案填在答题卡的相应位置.

11．在二项式
的展开式中，
的系数是 ;

12．若等比数列{
}的首项为
，且
，则公比等于_____________;

13．运行右图示的程序框图，当输入
时的输出结果为，

若变量
满足
，则目标函数
的

最大值为 ;

14．若函数在
在
上有最大值，

则实数的取值范围为 ;

15．如图，坐标纸上的每个单元格的边长为1，由下往上的六个点：

1，2，3，4，5，6的横纵坐标分别对应数列
的前12项，如下表所示：

按如此规律下去，则
.





















































三、解答题:本大题有6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

16．（本题满分13分）

设函数
的最大值为
,最小正周期为.

(Ⅰ)求
、；

(Ⅱ)若有10个互不相等的正数
满足

求
的值.

17．（本题满分13分）

在如图的多面体中，
⊥平面
，
,
，
，
，
，
，
是
的中点．

(Ⅰ) 求证：
平面
；

(Ⅱ) 求二面角
的余弦值.

18．（本题满分13分）

投掷四枚不同的金属硬币
，假定
两枚正面向上的概率均为
，另两枚
为非均匀硬币，正面向上的概率均为
，把这四枚硬币各投掷一次，设表示正面向上的枚数.

(Ⅰ)若
出现一枚正面向上一枚反面向上与
出现两枚正面均向上的概率相等，求的值；

(Ⅱ)求的分布列及数学期望（用表示）；

(Ⅲ)若出现2枚硬币正面向上的概率都不小于出现1枚和3枚硬币正面向上的概率，求的取值范围.

19．（本题满分13分）

一个截面为抛物线形的旧河道(如图1)，河口宽
米，河深2米，现要将其截面改造为等腰梯形(如图2)，要求河道深度不变，而且施工时只能挖土，不准向河道填土．

(Ⅰ)建立恰当的直角坐标系并求出抛物线弧
的标准方程；

(Ⅱ)试求当截面梯形的下底（较长的底边）长为多少米时，才能使挖出的土最少？

?

?

?

?

?20．（本题满分14分）

已知函数

(Ⅰ)若
时，函数
在其定义域上是增函数，求b的取值范围；

(Ⅱ)在（Ⅰ）的结论下，设函数
的最小值；

(Ⅲ)设函数
的图象C1与函数
的图象C2交于P、Q，过线段PQ的中点R作x轴的垂线分别交C1、C2于点M、N，问是否存在点R，使C1在M处的切线与C2在N处的切线平行？若存在，求出R的横坐标；若不存在，请说明理由.

21．本题有(1)、(2)、(3)三个选答题,每题7分,请考生任选2题作答,满分14分.如果多作,则按所做的前两题计分.作答时,先用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑,并将选题号填入括号中.

(1)(本小题满分7分) 选修4一2:矩阵与变换

设矩阵
所对应的变换是把坐标平面上的点的横坐标伸长到2倍，纵坐标伸长到3倍的伸缩变换．

（Ⅰ）求矩阵
的特征值及相应的特征向量；

（Ⅱ）求逆矩阵
以及椭圆
在
的作用下的新曲线的方程．

(2)(本小题满分7分) 选修4一4:坐标系与参数方程

已知直线
（t为参数），
（
为参数）.

（Ⅰ）当
时，求
与
的交点坐标；

（Ⅱ）过坐标原点
做
的垂线，垂足为，为
中点，当变化时，求点的轨迹的参数方程.

(3)(本小题满分7分) 选修4一5:不等式选讲

已知
均为正实数，且
.

求
的最大值.

2014年南靖四中高考模拟考试

数学（理科）参考解答及评分标准

一、选择题：本大题有10小题，每小题5分，共50分.本题主要考查基础知识和基本运算．

1．A 2．D 3．A 4．D 5．C 6．A 7．A 8．B 9．C 10．C

二、本大题共5个小题；每小题4分，共20分.本题主要考查基础知识和基本运算．

11．60 12．3 13．5 14．
15．1005

三、解答题:本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.

16. 解：
…………4分

(Ⅰ)M=2 ， T=
…………6分

(Ⅱ)
即
…………9分

又
…………11分

…………13分

17.解： (Ⅰ)证明：∵
，

∴
.

又∵
,
是
的中点，

∴
，

∴四边形
是平行四边形， ∴
.

∵
平面
，
平面
， ∴
平面
.…………6分

(Ⅱ)∵
平面
，
平面
，
平面
，

∴
，
，

又
,∴
两两垂直. ……………………7分

以点E为坐标原点，
分别为
轴建立如图的空间

直角坐标系.由已知得，（0，0，2），（2，0，0），

（2，4，0），（0，3，0），（0，2，2），

（2，2，0）. …………………………8分

由已知得
是平面
的法向量. …………………9分

设平面
的法向量为
，∵
，

∴
，即
，令
,得
. …………………11分

设二面角
的大小为，

则
， ∴二面角
的余弦值为
………13分

18．解：（Ⅰ）由题意，得
……………………3分

（Ⅱ）=0，1，2，3，4. …………………4分

…………5分

；……………6分

……7分

…………………………8分

………………………………………9分

得的分布列为：

0

1

2

3

4



p













的数学期望为：
……10分

（Ⅲ）
≥0 .

≥0 .………12分

…13分

19. 解：（1）如图：以抛物线的顶点为原点，

中垂线为轴建立直角坐标系------1分

则
------2分

设抛物线的方程为
，将点
代入得
-------3分

所以抛物线弧AB方程为
（
） ------4分

（2）解法一：

设等腰梯形的腰与抛物线相切于

则过
的切线
的斜率为

所以切线
的方程为：
，即

令
，得
， 令
，得
，

所以梯形面积
-----10分

当仅当
，即
时，
成立

此时下底边长为
-----12分

答：当梯形的下底边长等于
米时，挖出的土最少． -----13分

?解法二：设等腰梯形的腰与抛物线相切于

则过
的切线
的斜率为

所以切线
的方程为：
，即

运用定积分计算抛物线与等腰梯形间的面积：

-----10分

?

当仅当
，即
时，
成立，此时下底边长为
---12分

答：当梯形的下底边长等于
米时，挖出的土最少． -----------13分

?解法三：设等腰梯形上底（较短的边）长为
米，则一腰过点
，可设此腰所在直线方程为
， 联立
，得
，

令
，得
，或
（舍），

故此腰所在直线方程为
，

令
，得
，

故等腰梯形的面积：
------------10分

当且仅当
，即
时，有

此时，下底边长
------------12分

答：当梯形的下底边长等于
米时，挖出的土最少． ----------13分

20．解：（1）依题意：

∵
上是增函数，

∴
恒成立，……………………2分

∴
∵
∴b的取值范围为
……………4分

（2）设
，即

…5分

∴当
上为增函数，当t=1时，
…6分

当

…………7分

当
上为减函数，当t=2时，
……………8分

综上所述，当

当

…………9分

（3）设点P、Q的坐标是
则点M、N的横坐标为

C1在M处的切线斜率为
C2在点N处的切线斜率

假设C1在点M处的切线与C2在点N处的切线平行，则

即

则

，
…………12分

设
…………………………①

令
则

∵
∴

所以
上单调递增，故
， 则

这与①矛盾，假设不成立,故C1在点M处的切线与C2在点N处的切线不平行.……14分

21.解: （Ⅰ）由条件得矩阵
，

它的特征值为和
，对应的特征向量为
及
；……4分

（Ⅱ）
，椭圆
在
的作用下的新曲线的方程为
.…7分

（2）解： （Ⅰ）当
时，
的普通方程为
，

的普通方程为
.联立方程组
，

解得
与
的交点为（1,0）,
. ……4分

（Ⅱ）
的普通方程为
.A点坐标为
，

故当变化时，P点轨迹的参数方程为：
(为参数)……7分

（3）解：由柯西不等式得

………5分

当且仅当a=b=c=
时等号成立

故
的最大值为
.……………7分