福建省南靖四中2014届高三高考模拟文科数学试卷

2014.05.11

(总分150分。 考试时间120分钟。)

参考公式：

样本数据x1，x2，…，xn的标准差： s=
，其中为样本平均数；

柱体体积公式：V=Sh ，其中S为底面面积，h为高；

锥体体积公式：V=
Sh，其中S为底面面积，h为高；

第I卷（选择题 共60分）

一、选择题：本题共１2小题，每小题５分，共6０分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1.
( )

A.
B.
C.
D.

2. 若函数
是可导函数，则 “
”是“
”的( )

A.充分必要条件 B.必要不充分条件

C.充分不必要条件 D. 既不充分也不必要条件

3.已知定义在R上的函数
满足
，且
时
，则
( )

A．-1 　　　　 B．0 　　 C．1 　　　　 D．1或0

4．已知为虚数单位，复数
，则复数的模为（ ）

A．
　　　　　　B ．
C ．1 D．0

5．若集合
，则CBA =（ ）

　Ａ．
Ｂ．
Ｃ．
Ｄ．以上都不对

6.已知A、B是两个不同的点，
是两条不重合的直线，
是两个不重合的平面，则①
，
；②
，
，
；③
，
，
；④
，
．其中真命题为（ ）

A．②③ B．②④ C．①③ D．①④

7. 若点P(2,0)到双曲线－＝1的一条渐近线的距离为，则该双曲线的离心率为（ ）

A. B. C．2 D．2

8.计算机执行右边程序框图设计的程序语言后，输出的数据是55,则判断框内应填（ ）

A．n＜7 B．n≤7 C．n≤8 D．n≤9

9.已知
中，
，

点为
边的中点，点为
边所在直线上的

一个动点，则
满足（ ）

A.为定值4 B.最大值为8

C.最小值为2 D.与的位置有关

10.实数
满足
，

则
四个数的大小关系为（ ）

A.
B.

C.
D.

11.已知函数
在

区间
上是减函数，则
的最小值是（ ）

A．0　　　　B ．1 C ．2 D．3

12. 如图，动点在正方体
的对角线
上．过点作垂直于平面
的直线，与正方体表面相交于
．设
，
，则函数
的图像大致是（ ）

第Ⅱ卷（非选择题 共9０分）

二、填空题：本大题共4小题，每小题４分，共16分．把答案填在答题卡的相应位置．

13.一简单组合体的三视图及尺寸如下图示（单位：cm），则该组合体的体积为
。

14.甲、乙、丙、三个人按任意次序站成一排，则甲站乙前面，丙不站在甲前面的概率为

15.过点
的直线
与圆
交于
两点，当
最小时，直线
的方程为 。

16.若曲线
(或
)在其上两个不同点处的 切线重合，则称这条切线为曲线
(或
)的自公切线，下列方程的曲线存在自公切线的序号为

（写出所有满足题意的序号）

①
②

③
④

三、解答题：本大题共６小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17. （本小题共12分）

某中学的高二(1)班男同学有
名，女同学有
名，老师按照分层抽样的方法组建了一个人的课外兴趣小组．

（Ⅰ）求某同学被抽到的概率及课外兴趣小组中男、女同学的人数；

（Ⅱ）经过一个月的学习、讨论，这个兴趣小组决定选出两名同学做某项实验，方法是先从小组里选出名同学做实验，该同学做完后，再从小组内剩下的同学中选一名同学做实验，求选出的两名同学中恰有一名女同学的概率；

（Ⅲ）试验结束后，第一次做试验的同学得到的试验数据为
，第二次做试验的同学得到的试验数据为
，请问哪位同学的实验更稳定？并说明理由.

18. （本题满分12分）

设函数
的最大值为
,最小正周期为.

(Ⅰ)求
、；

(Ⅱ)若有10个互不相等的正数
满足

求
的值.

19．（本题满分12分）

如图给出了一个“等差数阵”：

其中每行、每列都是等差数列，
表示位于第行第
列的数．

（Ⅰ）写出
的值；

（Ⅱ）写出
的计算公式．

20. （本小题共12分）

如图所示，
平面
，
平面
，
，
，凸多面体
的体积为
，为
的中点．

（Ⅰ）求证：
平面
；

（Ⅱ）求证：平面
平面
．

21. （本小题共12分）

一个截面为抛物线形的旧河道(如图1)，河口宽AB＝4米，河深2米，现要将其截面改造为等腰梯形(如图2)，要求河道深度不变，而且施工时只能挖土，不准向河道填土．

（Ⅰ）建立恰当的直角坐标系并求出抛物线弧AB的标准方程；

（Ⅱ）试求当截面梯形的下底（较长的底边）长为多少米时，才能使挖出的土最少？

?

?

?

?

?

?

?

?

22. （本小题共14分）

已知函数

（Ⅰ）当
时，求函数
的极值；

（Ⅱ）求函数
在
（为自然对数的底数）上的最大值；

（Ⅲ）对任意给定的正实数，曲线
上是否存在两点
，使得
是以为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在轴上？

2014年南靖四中文科数学高考模拟试卷参考答案

1-12 BBACA DABAC CB

13.64000; 14.
; 15.
; 16. ①③

18. 【解析】
…………4分

(Ⅰ)M=2 ， T=
…………6分

(Ⅱ)

即
…………9分

又
…………11分

…………12分

19. 【解析】(1)该等差数阵的第1列是首项为4，公差为3的等差数列，
＝4＋3×(4－1)＝13，第2列是首项为7，公差为5的等差数列，
＝7＋5×(4－1)＝22.∵
＝13，
＝22，∴第4行是首项为13，公差为9的等差数列．∴
＝13＋9×(5－1)＝49.……6分

(2)∵
＝4＋3(j－1)，
＝7＋5(j－1)，∴第j列是首项为4＋3(j－1)，公差为2j＋1的等差数列．∴
＝4＋3(j－1)＋(2j＋1)·(i－1)＝i(2j＋1)＋j.……12分

20. 【证明】（Ⅰ）∵
平面
，
平面
，∴四边形
为梯形，且平面
平面
， ∵
，∴
， ……1分

∵平面
平面
，∴
平面
，

即
为四棱锥
的高，……2分

∵
，

∴
，……3分

作
的中点
，连接
，
，∴
为三角形
的中位线，∴
，
， ……5分

∴四边形
为平行四边形，∴
，又
平面
，∴
平面
．……7分

（Ⅱ）∵
，为
的中点，

∴
，又
，∴
平面
， ……10分

∵
，∴
平面
，又
平面
，

∴平面
平面
． …… 12分

21. 【解析】（Ⅰ）如图：以抛物线的顶点为原点，

中垂线为轴建立直角坐标系……1分

则
……2分

设抛物线的方程为
，

将点
代入得
……3分

所以抛物线弧AB方程为
（
） ……4分

（Ⅱ）解法一：设等腰梯形的腰与抛物线相切于

则过
的切线
的斜率为
，所以切线
的方程为：
，即
，令
，得
，令
，得
，

所以梯形面积
……10分

当仅当
，即
时，
成立此时下底边长为

答：当梯形的下底边长等于
米时，挖出的土最少． ……12分

?解法二：设等腰梯形上底（较短的边）长为
米，则一腰过点
，可设此

腰所在直线方程为
，

联立
，得
，

令
，得
，或
（舍），

故此腰所在直线方程为
，

令
，得
，

故等腰梯形的面积：
……10分

当且仅当
，即
时，有

此时，下底边长

答：当梯形的下底边长等于
米时，挖出的土最少． ……12分

22. 【解析】（Ⅰ）

（Ⅱ）①由（1）知当
时，
在
处取得极大值
．

又
，所以
在
上的最大值为2．……4分

②当
时，
，当
时，
；当
时，
在
上单调递增，所以
在
上的最大值为．所以当
时，
在
上的最大值为；当
时，
在
上的最大值为2. ……8分

（Ⅲ）假设曲线
上存在两点
，使得
是以为直角顶点的直角三角形，则
只能在轴的两侧，不妨设
，则
，且
．

因为
是以为直角顶点的直角三角形，所以
，

即：
（1）……10分

是否存在点
等价于方程（1）是否有解．

若
，则
，代入方程（1）得：
，此方程无实数解．

若
，则
，代入方程（1）得到：
，……12分

设
，则
在
上恒成立．所以
在
上单调递增，从而
，所以当
时，方程
有解，即方程（1）有解．所以，对任意给定的正实数，曲线
上存在两点
，使得
是以为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在轴上．……14分