注意事项：

1、本试卷本分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，其中第Ⅱ卷第（22）～（24）题为选考题，其它题为必考题.

2、考生作答时，将答案答在答题卡上，写在本试卷上无效.

3、考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

第Ⅰ卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项，只有一项是符合题目要求的.

1.复数
,则
对应的点所在的象限为

（A）第一象限 （B）第二象限 （C）第三象限 （D）第四象限

2.已知集合
,
，
，则
为（A）
（B）
（C）
（D）

3．某几何体三视图如下图所示，则该几何体的体积是

（A）
（B）
（C）
（D）

4．下列函数中，对于任意
，同时满足条件
和
的函数是

（A）
（C）

（B）
（D）

5.在梯形
中，


，
，

，点
是
边上一动点，则
的最大值为

(A)
(B)8 (C)
(D)16

6. 若双曲线
的渐近线与圆
相切，则双曲线的离心率为

（A） （B）
（C）
（D）

7．已知直线
按向量
平移后得到的直线与曲线
相切，则
为（ ）

（A）（0，1） （B）（1，0） （C）（0，2） （D）（2，0）

8.在“学雷锋，我是志愿者”活动中，有名志愿者要分配到个不同的社区参加服务，每个社区分配名志愿者，其中甲、乙两人分到同一社区，则不同的分配方案共有

（A）
种 （B）
种 （C）
种 （D）
种

9. 下列四个判断，正确的是

①某校高二某两个班的人数分别是
，某次测试数学平均分分别是
，则这两个班的数学平均分为
；

②
名工人某天生产同一零件，生产的件数是
设其平均数为,中位数为
,众数为，则有
；

③从总体中抽取的样本
，则回归直线=
必过点（
）；

④已知
服从正态分布
,
，且
，则
.

（A）①②③ （B）①③④ （C）②③④ （D）①②③④

10. 已知抛物线
上存在关于直线
对称的相异两点、，则
等于

（A）3 （B）4 （C）
（D）

11．已知直角梯形
,
，
，
，沿
折叠成三棱锥，当三棱锥体积最大时，此时三棱锥外接球的体积是

（A）
（B）
（C）
（D）

12.已知函数
，若存在实数
，满足
，且
，则
的取值范围是

（A）(20，32) （B）(9,21) （C）(8,24) （D）(15，25)

2014年宁城县高三年级统一考试（5.20）

数学试卷（理科）

第Ⅱ卷

本卷包括必考题和选考题两部分，第13题?第21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22题?第：24题为选考题，考生根据要求作答.

二、填空题共4小题，每小题5分，共20分.

13．
的二项展开式中含
的项的系数为 .

14. 如图所示程序框图中，输出
_______________.

15．已知向量
，
，且
，若变量x，y满足约束条件
，则z的最大值为 .

16．在
中，若
，则
的面积的最大值为___________.

三、解答题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.

17.（本小题满分12分）

已知等差数列{
}，公差
，前n项和为
，
,且满足
成等比数列.

（I）求{
}的通项公式；

（II）设
，求数列
的前项和
的值.

18．（本小题满分12分）

如图，在四棱锥
中，底面
为矩形，
平面
，
，
，是
中点，为
上一点.

（Ⅰ）求证：
平面
；

（Ⅱ）当
为何值时，二面角
为
.

19．（本小题满分12分）

为了解甲、乙两个快递公司的工作状况，假设同一个公司快递员的工作状况基本相同，现从甲、乙两公司各随机抽取一名快递员，并从两人某月（30天）的快递件数记录结果中随机抽取10天的数据，制表如下：

甲公司某员工A



乙公司某员工B



3

9

6

5

8

3

3

2

3

4

6

6

6

7

7















0

1

4

4

2

2

2







每名快递员完成一件货物投递可获得的劳务费情况如下：

甲公司规定每件4.5元；乙公司规定每天35件以内（含35件）的部分每件4元，超出35件的部分每件7元.

（Ⅰ）根据表中数据写出甲公司员工A在这10天投递的快递件数的平均数和众数；

（Ⅱ）为了解乙公司员工B的每天所得劳务费的情况，从这10天中随机抽取1天，他所得的劳务费记为
（单位：元），求
的分布列和数学期望；

（Ⅲ）根据表中数据估算两公司的每位员工在该月所得的劳务费.

20．（本小题满分12分）

已知
是椭圆
上两点，点M的坐标为
.

（Ⅰ）当
两点关于轴对称，且
为等边三角形时，求
的长；

（Ⅱ）当
两点不关于轴对称时，证明：
不可能为等边三角形.

21．（本小题满分12分）

已知函数f(x)＝x2－lnx－ax（a∈R）的导函数是
．

（Ⅰ）若存在x∈(0，＋∞)，使得f(x)＜0，求a的取值范围；

（Ⅱ）若f(x)＝x有两个不同的实数解u，v（0＜u＜v），证明：
．

请考生在第（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑．

22．（本小题满分10分）选修4-1:几何证明选讲

如图所示,
为圆
的切线,为切点,

，

的角平分线与
和圆
分别交于点和.

（Ⅰ） 求证

（Ⅱ） 求
的值.

23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程

已知平面直角坐标系
,以
为极点,轴的非负半轴为极轴建立极坐标系, ,曲线
的参数方程为
.点
是曲线
上两点，点
的极坐标分别为
.

（Ⅰ）写出曲线
的普通方程和极坐标方程; （Ⅱ）求
的值.

24．（本小题满分10分）选修4-5:不等式选讲

已知a，b，c均为正实数，且ab＋bc＋ca＝1.

求证：（Ⅰ）
≥； (Ⅱ)
≥
.



选择题：DAAD BCAB CCAB.

填空题：13、15；14、-55；15、3；16、
.

三、解答题：17. 解：（I）由
，得

成等比数列，

，解得：
或
…………………4分

数列
的通项公式为
. …………………6分

…………………12分

的分布列为：

136

147

154

189

203

















---------------------------------8分

(说明：每个概率值给1分，不化简不扣分，随机变量值计算错误的此处不再重复扣分)

-------------------------------------10分

（Ⅲ）根据图中数据，可估算甲公司被抽取员工该月收入4860元，乙公司被抽取员工该月收入4965元. ----------------------12分

本质。长期以来，很多教师对解析几何问题总结出“解答策略”和“模式”，即联立直线和圆锥曲线方程
一元二次方程
一元二方程根的判别式以及韦达定理
。然

g(x)有最小值g(1)＝1． ………………………… …4分

故a的取值范围是(1，＋∞)． ……………………………5分

（Ⅱ）因f(x)＝x，即x2－lnx＝(a＋1)x有两个不同的实数解u，v．

故u2－lnu＝(a＋1)u，v2－lnv＝(a＋1)v．

∴a＋b＋c≤ab＋bc＋ca成立．

∴原不等式成立．---------------------------------10分