高2014届第七次模拟考试



 数学（理）试题



一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的（本大题共10小题，每小题5分，共50分）

1. 知复数
，
是z的共轭复数，则
的模等于( )

A. B 2 C 1 D

2. 设集合A=
，B=
，则满足
的集合
的个数是

A.0 B.1 C.2 D.3 (　　)

3. 设函数
,将
的图像向右平移
个单位,使得到的图像关于轴对称,则的最小值为（ ）

A.
B.
C.
D.

4. 已知等差数列
中，
，
，若
，则数列
的前5项和等于（ ）

A．30 B．45 C．180 D．90

5. 已知某企业上半年前5个月产品广告投入与利润额统计如下：

月份

1

2

3

4

5



广告投入（x万元）

9.5

9.3

9.1

8.9

9.7



利润（y万元）

92

89

89

87

93



由此所得回归方程为
，若6月份广告投入10（万元）估计所获利润为（ ）

A．95.25万元 B．96.5万元 C．97万元 D．97.25万元

6. 已知在平面直角坐标系中，
,动点
满足不等式
,则
的最大值为（ ）

A.4 B.3 C.2 D.1

7.设△ABC的三边长分别为a、b、c，△ABC的面积为S，内切圆半径为r ，则r＝；类比这个结论可知：四面体S－ABC的四个面的面积分别为S1、S2、S3、S4，内切球的半径为R，四面体P－ABC的体积为V，则R＝(　　)

A． B．  C． D．

8. 设
分别是双曲线
的左、右焦点，若双曲线上存在点，使
且
，则双曲线的离心率为（ ）

A．
B．
C．
D．

9. 偶函数
满足
，且在
时，
，则关于x的方程
，在
上解的个数是（ ）

A、1 B、2 C、3 D、4

10. 若偶函数
在区间
上是增函数，
是锐角三角形的两个内角，则下列不等式中正确的是（ ）

A．
B．

C．
D．

二、填空题：把答案填在答题卡相应题号后的横线上（本题5小题，每小题5分，共25分）

11. x(x-
)7展开式中x4的系数为84，则正实数a的值为_________

12. 如右图所示的流程图中，循环体执行的次数是 .

13. 一个总体分为
两层，其个体数之比为
，用分层抽样法从总体中抽取一个容量为10的样本，已知层中甲、乙都被抽到的概率为
，则总体中的个体数是 .

14. 如右图所示,过抛物线
的焦点的直线
与

抛物线和圆
交于
四点,

则
.

15.本小题有(Ⅰ)、（Ⅱ）、（Ⅲ）三个选答题，请考生任选一题做答.如果多做，则按所做的前一题计分.

A．（选修4—4坐标系与参数方程）已知点是曲线
上任意一点，则点到直线
的距离的最小值是 .

B．（选修4—5不等式选讲）不等式
的解集是 .

C．（选修4—1几何证明选讲）如右图所示,
和
分别是圆
的

切线，且
，
,延长
到点，则
的面积是 .

三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤（共6题，共75三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤（本大题共6小题，共75分）

16. （本题满分12分）在数列{
}中，
，并且对任意
都有

成立，令
．

（1）求数列{
}的通项公式；（2）求数列{
}的前n项和
．

17. （本小题满分12分）如图，已知函数
的图象与轴的交点为(0,1)，它在轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为
和
．

(1)求函数
的解析式及
的值；

(2) 在
中，角A，B，C成等差数列 ，求
在
上的值域

18.（本小题满分12分）甲、乙两位同学各有3张卡片，现以投掷均匀硬币的形式进行游戏，当出现正面朝上时甲赢得乙一张卡片，否则乙赢得甲一张卡片.规定掷硬币的次数达6次时，或在此前某人已赢得所有卡片时游戏终止。设
表示游戏终止时掷硬币的次数。

（1）求第三次掷硬币后甲恰有4张卡片的概率；

（2）求
的分布列和数学期望
.

19. （本小题满分12分）已知某几何体的直观图和三视图如下图所示, 其正视图为矩形,左视图为等腰直角三角形,俯视图为直角梯形.

(1)证明：
⊥平面
； (2)求平面
与平面
所成角的余弦值.

20.（本小题满分13分）设
分别为直角坐标系中与轴、轴正半轴同方向的单位向量,若向量

且
.

(Ⅰ)求点
的轨迹
的方程；

(Ⅱ)设抛物线
的顶点为,焦点为.直线
过点与曲线
交于
两点,是否存在这样的直线
,使得以
为直径的圆过点,若存在,求出直线方程；

若不存在,请说明理由？

21.（本小题满分14分）已知函数
,
.

(1)求函数
的极值。

(2)若
恒成立,求实数的值；

(3)设

有两个极值点
、
(

),求实数的取值范围,并证明
.

高2014届第七次模拟考试



数学（理）答案



一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分）

1. C 2. C 3. B 4. D 5. A 6. A 7. C 8.B 9. D 10. D

二、填空题：（本大题共5小题，每小题5分，共25分）

11. 2 12. 49 13. 40 14. -1 15. (Ⅰ)2.5（Ⅱ）(0, 1) （Ⅲ）9.6.

三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤（本大题共6小题，共75分）

16. 解：（1）当n=1时，
,当
时，由
得
所以
…．．4分 所以数列
是首项为3，公差为1的等差数列，

所以数列
的通项公式为
……………………………．6分

（2）

17. 解(1)∵由题
即
∴
∴
. 2分

∴
，由图象经过点(0,1)得
，

又
，∴
. ∴
————4分

∴
，即

根据图象可得
是最小的正数，则
————6分

(2)由
— 8分 ∵
，即
，则

∴
，故
————12分

18.解：（1）记“第三次掷硬币后甲恰有4张卡片”为事件，则

（2）
的所有可能取值为：3，5，6，

，
，

分布列为：

3

5

6















19.解：(1)证明:∵该几何体的正视图为矩形,左视图为等腰直角三角形,俯视图为直角梯形,

∴
两两垂直. 以
分别为
轴建立空间直角坐标系如图．

则
． ∴
，

． ∴
,
.

又
与
相交于
， ∴
⊥平面
. ————6分

(2)∵
⊥平面
, ∴
是平面
的一个法向量
, 设
为平面
的一个法向量,则
,

所以可取
．则
．

∴所求平面
与平面
的余弦值为
． ————12分：

20. 解：（1）∵
，则
，

由两点间的距离公式得：（即动点到两定点的距离之和为定值）

（2）因抛物线方程为：
，故
.

当直线
轴时，不合题意。

当直线
不垂直于轴时，设直线
方程为：
，

设A
,B
，且△>0恒成立，

又∵

可得：
， 故所求的直线方程为：

21、解：（1）当x=1时，G（x）的极小值为0.

（2）令
，则
．

所以
即
恒成立的必要条件是
，

又
，由
得：
．

当
时，
，知
，

故
，即
恒成立．

（3）由

，得
．

有两个极值点
、
等价于方程
在
上有两个不等的正根，即：

， 解得
．

由
，得
，其中
.

所以
．　　　

设
，得
，

所以
，即
．