2014届高州市高考模拟试题

理科数学

本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分150分，考试时间120分钟。

注意事项：

1、答卷前，考生要务必填写答题卷上的有关项目。

2、选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答案填在答题卡相应的位置上。

3、非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效。

4、考生必须保持答题卷的整洁.考试结束后，将答题卷交回。

第一部分 选择题（共40分）

一、选择题：（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1. 复数
的共轭复数是

A.
B．
C．
D．

2、已知集合
则

A．
B．
C．
D．

3. 下列命题正确的是

A．若直线
与平面
不平行，则直线
与平面
内的所有直线都不平行

B．如果两条直线在平面
内的射影平行，那么这两条直线平行

C．垂直于同一直线的两个不同平面平行，垂直于同一平面的两条不同直线也平行

D．直线
与平面
不垂直，则直线
与平面
内的所有直线都不垂直

4、已知等差数列
的公差为2，若
成等比数列，则
的值为

A．-4 B．-10 C．-8 D．-6

5．某班主任对全班50名学生进行了作业量多少的调查，数据如下表：

认为作业多

认为作业不多

总数



喜欢玩电脑游戏

18

9

27



不喜欢玩电脑游戏

8

15

23



总数

26

24

50



根据表中数据得到
，参考下表：

P(K2≥k)

0.050

0.025

0.010

0.001



k

3.841

5.024

6.635

10.828



则认为喜欢玩电脑游戏与认为作业量的多少有关系的把握大约为（ ）

A．97.5% B．95% C．90% D．99.9%

6、若
，且
，则
的值等于

A．
B．
C．
D．

7．设双曲线C：
（
）的左、右焦点分别为 F1，F2．若在双曲线的右支上存在一点P，使得 |PF1|＝3|PF2|，则双曲线C的离心率e的取值范围为

(A) (1,2] (B)
(C)
(D) (1,2)

8、定义在
上的函数
,如果存在函数
为常数
,使得
对一切实数
都成立,则称
为函数
的一个“承托函数”.现有如下命题：①对给定的函数
,其承托函数可能不存在,也可能有无数个；②
为函数
的一个承托函数；③定义域和值域都是
的函数
不存在承托函数.其中正确的命题是( ).

A.① B.② C.①③ D.②③

第二部分 非选择题（共100分）

二、填空题（本大题共7小题，分为必做题和选做题两部分，每小题5分，满分30分）。

（一）必做题：第9至13题为必做题，每道试题考生都必须作答。

９、如果
展开式中，第四项与第六项的系数相等，则
= ，展开式中的常数项的值等于 .

１０、执行下面的程序框图，输出的
的值为 ．

开始

输出

结束



第10题图





11、某个圆柱被一个平面所截，截得的几何体的三视图如上图所示，则该几何体的体积为

12、铁矿石
和
的含铁率
，冶铁每万吨铁矿石的CO2的排放量
及每万吨

铁矿石的价格
如下表，某冶铁厂至少要生产1.9万吨铁，若要求CO2的

排放量不超过2万吨，则购买铁矿石的最少费用为 百万元．




/万吨


/百万元





50%

1

3





70%

0.5

6





13、若从区间
内随机取两个数，则这两个数之积不小于
的概率为　　　　　　

（二）选做题：第14、15题为选做题，考生只选做其中一题，两题全答的只算前一题得分。

14. (坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，直线

（常数
）与曲线
相切，则
．

15．（几何证明选讲选做题）如图，
是半圆的直径，

弦
和弦
相交于点
，且
，则

．

三、解答题：本大题共6小题，满分80分。解答须写出文字说明，证明过程或演算步骤。

16．（本小题满分12分）

在
中，角
为锐角,记角
所对的边分别为
设向量

且
与
的夹角为

（1）求
的值及角
的大小；

（2）若
，求
的面积
．

17、（本小题满分12分）

为庆祝五一，某旅游景点推出“挑战自我”节目，挑战者闯关需要回答三个问题，其中前两个问题回答正确各得10分，回答不正确得0分，第三个题目，回答正确得20分，回答不正确得一10分，总得分不少于30分即可过关。如果一位挑战者回答前两题正确的概率都是
,回答第三题正确的概率为
，且各题回答正确与否相互之间没有影响。记这位挑战者回答这三个问题的总得分为
。

（1)这位挑战者过关的概率有多大？

（2）求
的概率分布和数学期望。

18、（本小题满分14分）

如图，AB为圆O的直径，点E、F在圆O上，AB//EF，

矩形ABCD和圆O所在的平面互相垂直.已知AB=2，

EF=1．

(I)求证：平面DAF⊥平面CBF;

(Ⅱ)求直线AB与平面CBF所成角的大小；

(Ⅲ)当AD的长为何值时，二面角D-FE-B的大小为

60°?

19、（本小题满分14分）

已知数列
的前n项和为
（
），且

（1）求证：
是等差数列；

（2）求
；

（3）若
，求证：

20．（本题满分14分）

已知椭圆
的离心率为
，以原点为圆心，椭圆短半轴长为半径的圆与直线
相切，
分别是椭圆的左右两个顶点，
为椭圆
上的动点.

（Ⅰ）求椭圆的标准方程；

（Ⅱ）若
与
均不重合，设直线
与
的斜率分别为
，证明：
为定值；

（Ⅲ）
为过
且垂直于
轴的直线上的点，若
，求点
的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线．

21. （本小题满分14分）

设函数
，其中b为常数．（1）当
时，判断函数f（x）在定义域上的单调性；（2）若函数f（x）的有极值点，求b的取值范围及f（x）的极值点；（3）求证对任意不小于3的正整数n，不等式
都成立．

数学试题（理科）参考答案和评分标准

一、选择题：（每题5分，共40分）

题号

1

2

3

4

5

6

7

8



选项

C

D

C

D

A

D

A

A



二、填空题（每题5分，共30分）

9．8，70 10．17 11．
12．15 13．
14．1 15．

15、连结AD，


与
相似。

三、解答题:本大题共6小题,满分80分,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤．

16．（本题满分12分）

解：（1）

3分

，

5分

7分

（2）(法一)
,
及
,

, 即
(舍去)或
10分

故
12分

(法二)
,
及
,

. 7分

,

,

. 10分

故
12分

17．（本题满分12分）

解：（1)这位挑战者有两种情况能过关：

第三个答对，前两个一对一错，得20+10+0=30分，

②三个题目均答对，得10+10+20=40分，．．．．．．．．．.........1分

其概率分别为
．．．．．．．．．.........2分

这位挑战者过关的概率为

(2）如果三个题目均答错，得0+0+（-10）=-10分，

如果前两个中一对一错，第二个错，得10+0+（-10）=0分；

前两个错，第三个对，得0+0+20=20分；

如果前两个对，第三个错，得10+10+（-10) =10分；．．．．．．．．．．．..5分

故
的可能取值为：-10， 0，10，20，30，40.．．．．．．……6分

根据
的概率分布，可得
的期望

18．（本题满分14分）

解：(I)证明：∵平面ABCD⊥平面ABEF，CB⊥AB，

…4分

(Ⅱ)根据(I)的证明，有AF⊥平面CBF，

∴FB为AB在平面CBF上的射影，

∴∠ABF为直线AB与平面CBF所成的角， ………6分

∵AB//EF，∴四边形ABEF为等腰梯形，

过点F作FH⊥AB，交AB于H．

AB=2, EF=1 ,则

在Rt△AFB中，根据射影定理AF2=AH．AB，得AF=1. …………8分

∴直线AB与平面CBF所成角的大小为30°． ……………9分

(Ⅲ)（解法一）过A作AG⊥EF于G，连结DG，则∠AGD是二面角D-FE-B的平面角．

∴∠AGD=60

…………14分

（解法二）设EF中点为G，以O为坐标原点，OA、OG、AD方向分别为x轴、y轴、z轴

方向建立空间直角坐标系（图略）设AD=t(t>O)，则点D的坐标为(1,0,t)

设平面DEF的法向量为
,则

即
令
解得x=0，y=2t

………………11分

19．（本题满分14分）

解：（1）∵
，

………………………………………………….. 2分

………………………………………………….. 3分

∴

∴数列
是等差数列，且
………………………………… 5分

（2）当
时，
……………… 7分

当n=1时，
不符合上式……………… 8分

∴
……………… 9分

（3）
，……………… 10分

∴
.……………… 12分

∴左边
显然成立. ……………… 14分

20．（本题满分14分）

解：（Ⅰ）由题意可得圆的方程为
，

∵直线
与圆相切，∴
，即
， …………………….1分

又
，即
，
，解得
，
，

所以椭圆方程为
．…………………………………………………..3分

（Ⅱ）设
，
，
，则
，即
，

则
，
， ……………………………………………….4分

即
，

∴
为定值
． …………………………………………………………..6分

（Ⅲ）设
，其中
．

由已知
及点
在椭圆
上可得
，

整理得
，其中
．……………………….8分

①当
时，化简得
，

所以点
的轨迹方程为
，轨迹是两条平行于
轴的线段；

…………………………9分

当
时，方程变形为
，其中
，…11分

当
时，点
的轨迹为中心在原点、实轴在
轴上的双曲线满足
的部分；

当
时，点
的轨迹为中心在原点、长轴在
轴上的椭圆满足
的部分；

当
时，点
的轨迹为中心在原点、长轴在
轴上的椭圆． …………14分

21．（本题满分14分）

解：（1）由题意知，f（x）的定义域为（0，+∞），
∴当
时，f'（x）＞0，函数f（x）在定义域（0，+∞）上单调递增．

…………………3分（2）①由（Ⅰ）得，当
时，函数f（x）在定义域上无极值点．  ②
时，
有两个相同的解
，
时， ∴
时，函数f（x）在（﹣1，+∞）上无极值点．…………………4分③当
时，f'（x）=0有两个不同解，

∴（i）b≤0时，
，
， 此时f'（x），f（x）随x在定义域上的变化情况如表：
…………………6分（ii）当
时，0＜x1＜x2＜1 此时，f'（x），f（x）随x的变化情况如下表：
…………………8分综上所述：当且仅当
时f（x）有极值点； 当b≤0时，f（x）有惟一最小值点
； 当
时，f（x）有一个极大值点
和一个极小值点
…………………9分（3）由（2）可知当b=﹣1时，函数f（x）=（x﹣1）2﹣lnx， 此时f（x）有惟一极小值点
且

…………………11分令函数h（x）=（x﹣1）﹣lnx（x＞0）


…………………14分