珠海市

2013—2014学年度第二学期高三学生学业质量监测

数学（理）试题

一、选择题：本大题共8 小题，每小题5 分，满分 40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请在答题卡上填涂相应选项．

1．已知集合 A={0,1, 2,3} ，集合
，则
= ?

A．{ 3 } B．{0，1，2} C．{ 1，2} D．{0，1，2，3}

2．设复数z1=1+i，z2=2+xi（
），若
，则x =

A．－2 ? B．－1 ? C．1 D．2

3．某校高考数学成绩
近似地服从正态分布N（100,5 2） ，且p（
110）=0．98 ，则
的值为

A．0．49 B．0．52 C．0．51 D．0．48

4．通过随机询问100 名性别不同的小学生是否爱吃零食，得到如下的列联表：

由
算得

参照右上附表，得到的正确结论

A．在犯错误的概率不超过5%的前提下，认为“是否爱吃零食与性别有关”

B．在犯错误的概率不超过5%的前提下，认为“是否爱吃零食与性别无关”

C．有97．5%以上的把握认为“是否爱吃零食与性别有关”

D．有97．5%以上的把握认为“是否爱吃零食与性别无关”

5．右上图是一个几何体的三视图，由图中数据可知该几何体中最长棱的长度是

A．6 B．2
C．5 D．

6．执行如右图所示的程序框图，则输出的 y =

A．
B．1 C．－1 D．2

7．变量 x y 、 满足线性约束条件
，则目标函数 z =kx－y，仅在点（0 , 2）取得最小值，则k的取值范围是

A．k<－3 B．k>1? C．－3

8．设函数
在R上有定义，对于任一给定的正数P，定义函数
，则称函数
为
的“P界函数”．若给定函数
，则下列结论不成立的是

A．
B．

C．
? D．
?

二、填空题：本大题共7 小题，考生做答 6 小题，每小题 5 分，满分 30 分．其中第 14～15 题是选做题，考生只能选做一题，两题全答的，只计算前一题得分．请将答案填在答题卡相应位置．

9．已知数列
是等差数列，且a2=3，a6=11，则
的公差d 为 ．

10．曲线
在点（0,1）处的切线方程为 ．

11．在区间
上的余弦曲线y= cos x ? 与坐标轴围成的面积为 ．

12．已知菱形 ABCD的边长为a ， ∠DAB=60°，
，则
的值为 ．

13．有一个半径为4的圆，现在将一枚半径为1的硬币向圆投去，如果不考虑硬币完全落在圆外的情况，则硬币完全落入圆内的概率为 ．

14．（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，已知圆 C的圆心为（2,
），半径为 2，直线
被圆C 截得的弦长为2
，则
的值等于 ．

15．（几何证明选讲选做题）如图，CD是圆O的切线，切点为C，点 B 在圆O上，BC=2
∠BCD=60°，则圆O的面积为________．

三、解答题:本大题共 6 小题，满分 80 分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤。

16．（本小题满分12 分）

已知函数

（1）求
的表达式；

（2）若
，求
的值。

17．（本小题满分12 分）

为了解甲、乙两个班级某次考试的数学成绩（单位：分） ，从甲、乙两个班

级中分别随机抽取5名学生的成绩作样本，如图是样本的茎叶图．规定：成绩不低

于120分时为优秀成绩．

（1）从甲班的样本中有放回的随机抽取 2 个数据，求其中只有一个优秀成绩

的概率；

（2）从甲、乙两个班级的样本中分别抽取2名同学的成绩，记获优秀成绩的人数

为
，求
的分布列和数学期望E
．

18．（本小题满分14 分）

在下图的几何体中，面ABC //面DEFG ， ∠BAC=∠EDG=120° ，四边形 ABED 是矩形，四

边形ADGC 是直角梯形，∠ADG=90°，四边形 DEFG 是梯形， EF // DG ， AB=AC=AD =EF =1，

DG=2．

（1）求证：FG⊥面ADF ；

（2）求二面角F —GC—D的余弦值．

19．（本小题满分14 分）

设数列
的前n 项和为 Sn，数列
的前 n项和为 Tn ，且满足

（1）求 a 1的值；

（2）求数列
的通项公式；

（3）记
，求证：
．

20．（本小题满分14 分）

已知抛物线 C：x2=y，直线l与抛物线C交于 A、B不同两点，且
．

（1）求抛物线的焦点坐标和准线方程；

（2）设直线m为线段 AB的中垂线，请判断直线m是否恒过定点？若是，请求出定点坐标；若不是， 请说明理由；

（3）记点 A、B在x轴上的射影分别为 A 1、B1，记曲线E是以 A1B1为直径的圆，当直线
与曲线E的相离时，求 p的取值范围．

21．（本小题满分14 分）

已知函数

（1）当
? 时，求 （ ） f x 的最大值；

（2）讨论函数
的单调性；

（3）如果对任意
恒成立，求实数a的取值范围．