北京市西城区2014年高三5月二模

数 学（理科） 2014.5

第Ⅰ卷（选择题 共40分）

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．

1．已知集合
，
，若
，则实数的取值范围是（ ）



（A）

（B）

（C）

（D）



2．在复平面内，复数
对应的点位于（ ）



　（A）第一象限

（B）第二象限



　（C）第三象限

（D）第四象限



3．直线
为双曲线
的一条渐近线，则双曲线
的离心率是（ ）



（A）

（B）

（C）

（D）



4．某四棱锥的三视图如图所示，记A为此棱锥所有棱的长度的集合，则（ ）

（A）
，且

（B）
，且

（C）
，且

（D）
，且





5．设平面向量，，均为非零向量，则“
”是“
”的（ ）



（A）充分而不必要条件

（B）必要而不充分条件



（C）充分必要条件

（D）既不充分也不必要条件





6．如图，阴影区域是由函数
的一段图象与x

轴围成的封闭图形，那么这个阴影区域的面积是（ ）



（A）

（B）

（C）

（D）



7. 在平面直角坐标系
中，不等式组
所表示的平面区域是，不等式组
所表示的平面区域是
. 从区域中随机取一点
，则P为区域
内的点的概率是（ ）



（A）

（B）

（C）

（D）





8. 设为平面直角坐标系
中的点集，从中的任意一点作轴、轴的垂线，垂足分别为
，
，记点
的横坐标的最大值与最小值之差为
，点
的纵坐标的最大值与最小值之差为
.

若是边长为1的正方形，给出下列三个结论：


的最大值为
；


的取值范围是
；


恒等于0.

其中所有正确结论的序号是（ ）



（A）

（B）

（C）

（D）



第Ⅱ卷（非选择题 共110分）

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．

9．
的二项展开式中，常数项为______．

10. 在△ABC中，若
，
，
，则
_____；
_____．

11．如图，AB和CD是圆
的两条弦， AB与CD相交于点E，且
，
，则
______；
______.

12．执行如图所示的程序框图，输出的a值为______．

13. 设抛物线
的焦点为，
为抛物线
上一点，

，则
的取值范围是 .

14. 已知f是有序数对集合
上的一个映射，正整数数对
在映射f下的象为实数z，记作
. 对于任意的正整数
，映射
由下表给出：



















则
__________，使不等式
成立的x的集合是_____________.

三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．

15．（本小题满分13分）

在平面直角坐标系
中，点
，
，其中
.

（Ⅰ）当
时，求向量
的坐标；

（Ⅱ）当
时，求
的最大值.

16．（本小题满分13分）

为了解某校学生的视力情况，现采用随机抽样的方式从该校的A，B两班中各抽5名学生进行视力检测．检测的数据如下：

A班5名学生的视力检测结果：4.3，5.1，4.6，4.1，4.9.

B班5名学生的视力检测结果：5.1，4.9，4.0，4.0，4.5.

（Ⅰ）分别计算两组数据的平均数，从计算结果看，哪个班的学生视力较好？

（Ⅱ）由数据判断哪个班的5名学生视力方差较大？（结论不要求证明）

（Ⅲ） 现从A班的上述5名学生中随机选取3名学生，用X表示其中视力大于4.6的人数，求X的分布列和数学期望.

17．（本小题满分14分）

如图，在三棱锥
中，
底面
，
，为
的中点，
为
的中点，
，
.

（Ⅰ）求证：
平面
；

（Ⅱ）求
与平面
成角的正弦值；

（Ⅲ）设点在线段
上，且
，
平面
，求实数
的值.

18．（本小题满分13分）

已知函数
，其中
.

（Ⅰ）若
，求函数
的极值；

（Ⅱ）当
时，试确定函数
的单调区间.

19．（本小题满分14分）

设
是椭圆
上不关于坐标轴对称的两个点，直线
交轴于点
（与点
不重合），O为坐标原点.

（Ⅰ）如果点
是椭圆W的右焦点，线段
的中点在y轴上，求直线AB的方程；

（Ⅱ）设
为轴上一点，且
，直线
与椭圆W的另外一个交点为C，证明：点与点
关于轴对称.

20．（本小题满分13分）

在无穷数列
中，
，对于任意
，都有
，
. 设
， 记使得
成立的的最大值为
.

（Ⅰ）设数列
为1，3，5，7，
，写出
，
，
的值；

（Ⅱ）若
为等差数列，求出所有可能的数列
；

（Ⅲ）设
，
，求
的值.（用
表示）

参考答案及评分标准

高三数学（理科） 2014.5

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.

1．D 2．B 3．A 4．D

5．B 6．B 7．C 8．D

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.

9．
10．

11．
12．

13．
14．

注：第10，11，14题第一问2分，第二问3分.

三、解答题：本大题共6小题，共80分. 其他正确解答过程，请参照评分标准给分.

15．（本小题满分13分）

（Ⅰ）解：由题意，得
， ……………… 2分

当
时，
， ……………… 4分

，

所以
. ……………… 6分

（Ⅱ）解：因为
，

所以
……………… 7分

……………… 8分

……………… 9分

. ……………… 10分

因为
，

所以
. ……………… 11分

所以当
时，
取到最大值
，…… 12分

即当
时，
取到最大值
. ……………… 13分

16．（本小题满分13分）

（Ⅰ）解：A班5名学生的视力平均数为
，………… 2分

B班5名学生的视力平均数为
. ……………… 3分

从数据结果来看A班学生的视力较好. ……………… 4分

（Ⅱ）解：B班5名学生视力的方差较大. ……………… 7分

（Ⅲ）解：由（Ⅰ）知，A班的5名学生中有2名学生视力大于
.

则
的所有可能取值为
，，. ……………… 8分

所以
； ……………… 9分

； ……………… 10分

. ……………… 11分

所以随机变量
的分布列如下：

0

1

2













……………… 12分

故
. ……………… 13分

17．（本小题满分14分）

（Ⅰ）证明：因为
底面
，
底面
，

所以
， ……………… 1分

又因为
，
，

所以
平面
， ……………… 2分

又因为
平面
，

所以
. ……………… 3分

因为

是
中点，

所以
，

又因为
，

所以
平面
. ……………… 5分

（Ⅱ）解：在平面
中，过点作

因为
平面
，

所以
平面
，

由
底面
，得
，
，
两两垂直，

所以以为原点，
，
，
所在直线分别为x轴，y轴，z轴如图建立空间直角坐标系，

则
，
，
，
，
，
.

……………… 6分

设平面
的法向量为
，

因为
，
，

由
得

令
，得
. ……………… 8分

设
与平面
成角为，

因为
，

所以
，

即
. ……………… 10分

（Ⅲ）解：因为
，
，

所以
，

又因为
，

所以
. ……………… 12分

因为
平面
，平面
的法向量
，

所以
，

解得
. ……………… 14分

18.（本小题满分13分）

（Ⅰ）解：函数
的定义域为
，且
. ……………… 1分

. ……………… 3分

令
，得
，

当变化时，
和
的变化情况如下：

























↘

↘



↗



……………… 5分

故
的单调减区间为
，
；单调增区间为
．

所以当
时，函数
有极小值
. ……………… 6分

（Ⅱ）解：因为
，

所以
，

所以函数
的定义域为， ……………… 7分

求导，得
，…… 8分

令
，得
，
， ……………… 9分

当
时，
，

当变化时，
和
的变化情况如下：





























↗



↘



↗



故函数
的单调减区间为
，单调增区间为
，
．

……………… 11分

当
时，
，

因为
，（当且仅当
时，
）

所以函数
在单调递增. ……………… 12分

当
时，
，

当变化时，
和
的变化情况如下：





























↗



↘



↗



故函数
的单调减区间为
，单调增区间为
，
．

综上，当
时，
的单调减区间为
，单调增区间为
，
；当
时，函数
在单调递增；当
时，函数
的单调减区间为
；单调增区间为
，
． ……………… 13分

19．（本小题满分14分）

（Ⅰ）解：椭圆W的右焦点为
， ……………… 1分

因为线段
的中点在y轴上，

所以点的横坐标为
，

因为点在椭圆W上，

将
代入椭圆W的方程，得点的坐标为
. ……………… 3分

所以直线
（即
）的方程为
或
.…………… 5分

（Ⅱ）证明：设点
关于轴的对称点为
（在椭圆W上），

要证点与点
关于轴对称，

只要证点
与点C重合，.

又因为直线
与椭圆W的交点为C（与点不重合），

所以只要证明点，
，
三点共线. ……………… 7分

以下给出证明：

由题意，设直线
的方程为
,
,
，则
.

由

得
， ……………… 9分

所以
，

，
. ……………… 10分

在
中，令
，得点
的坐标为
，

由
，得点
的坐标为
， ……………… 11分

设直线
，
的斜率分别为
，
，

则
，………12分

因为

， ……………… 13分

所以
，

所以点，
，
三点共线，

即点与点
关于轴对称. ……………… 14分

20．（本小题满分13分）

（Ⅰ）解：
，
，
. ……………… 3分

（Ⅱ）解：由题意，得
，

结合条件
，得
. ……………… 4分

又因为使得
成立的的最大值为
，使得
成立的的最大值为
，

所以
，
. ……………… 5分

设
，则
.

假设
，即
，

则当
时，
；当
时，
.

所以
，
.

因为
为等差数列，

所以公差
，

所以
，其中
.

这与
矛盾，

所以
. ……………… 6分

又因为
，

所以
，

由
为等差数列，得
，其中
. ……………… 7分

因为使得
成立的的最大值为
，

所以
，

由
，得
. ……………… 8分

（Ⅲ）解：设
，

因为
，

所以
，且
，

所以数列
中等于1的项有
个，即
个； ……………… 9分

设
，

则
， 且
，

所以数列
中等于2的项有
个，即
个； ……………… 10分

……

以此类推，数列
中等于
的项有
个. ……………… 11分

所以

.

即
. ……………… 13分