上海市普陀区2014届高三4月教学质量调研（二模）

数学文试题

考生注意： 2014.4

1.答卷前，考生务必在答题纸上将姓名、考试号填写清楚，并在规定的区域贴上条形码.

2.本试卷共有23道题，满分150分.考试时间120分钟.

3.本试卷另附答题纸，每道题的解答必须写在答题纸的相应位置，本卷上任何解答都不作评分依据.

一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14小题，要求直接将结果填写在答题纸对应的空格中.每个空格填对得4分，填错或不填在正确的位置一律得零分.

1．若复数
（是虚数单位），则
.

2．若集合
，
，则
.

3．【文科】直线
与
的夹角的大小为 .

4．【文科】若函数
（
）满足条件：
，且
，则
.

5．【文科】若
（
），则
.

6．【文科】若集合
，则函数
（
）的值域为 .

7．【文科】若函数
（
）是偶函数，则函数
的单调递减区间为 .

8．【文科】一个正方体内接于球，若球的体积为
，则正方体的棱长为 .

9、【文科】若实数、满足条件：
，则
的最大值为 .

10．【文科】袋中有形状、大小完全相同的10个红球、20个白球，从中随机取出5个，则红球恰好为4个

的概率为 （结果精确到
）.

11．某质量监测中心在一届学生中随机抽取39人，对本届学生成绩进行抽样分析.统计分析的一部分结果，见下表:

统计组

人数

平均分

标准差



组









组









根据上述表中的数据，可得本届学生方差的估计值为 (结果精确到
).

12．如图所示，在一个
(
且
)的正方形网格内涂色,要求两条对角线的网格涂黑色，其余网格涂白色.若用
表示涂白色网格的个数与涂黑色网格的个数的比值，则
的最小值为 .

13．若
表示
阶矩阵
中第行、第
列的元素（、
），

【文科】其中
，则
.

14．【文科】若函数
（为常数），对于定义域内的任意两个实数
、
，恒有
成立，用
表示满足条件的所有正整数的和，则
= .

二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在答题纸相应的空格中. 每题选对得5分，不选、选错或选出的代号超过一个（不论是否都写在空格内），或者没有填写在题号对应的空格内，一律得零分.

15. 下列命题中，是假命题的为…………………………………………………………………………（ ）

平行于同一直线的两个平面平行.
平行于同一平面的两个平面平行.

垂直于同一平面的两条直线平行.
垂直于同一直线的两个平面平行.

16.【文科】已知曲线
:
和
:
的焦点分别为
、
，点
是
和
的一个交点，则△
的形状是…………………………………………………………………………………（ ）

锐角三角形.
直角三角形.
钝角三角形.
不能确定.

17. 若函数
，则使得“函数
在区间
内有零点”成立的一个必要非充分条件是…………………………………………………………………………………………………………（ ）

.

.

.

.

18. 对于向量
（
），把能够使得
取到最小值的点称为
（
）的“平衡点”. 如图，矩形
的两条对角线相交于点
,延长
至,使得
，联结
,分别交
、
于、
两点.下列结论中，正确的是……………………………………（ ）

、
的“平衡点”必为
.
、
、的“平衡点”为、的中点.

、、
、的“平衡点”存在且唯一.

、、、的“平衡点”必为.

三、解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸规定的方框内写出必要的步骤.

19、 (本题满分12分) 本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分．

如图，在
平面上，点
，点在单位圆上，
（
）

（1）【文科】若点
，求
的值；

（2）若
，四边形
的面积用
表示，求
的取值范围.

20、(本题满分14分) 本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．

如图，已知
是圆柱
底面圆
的直径，底面半径
，圆柱的表面积为
；点
在底面圆
上，且直线
与下底面所成的角的大小为
.

（1）【文科】求三棱锥
的体积；

（2）【文科】求异面直线
与
所成的角的大小（结果用反三角函数值表示）.

21、(本题满分14分) 本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．

已知函数
的反函数为
，记
.

（1）求函数
的最小值；

（2）【文科】集合
，对于任意的
，不等式
恒成立，求实数的取值范围.

22、（本题满分16分）本题共有3个小题，第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题6分．

已知曲线:
，直线
经过点
且其一个方向向量为
.

若曲线的焦点在直线
上，求实数
的值；

当
时，直线
与曲线相交于、两点，求
的值；

当
（
）变化且直线
与曲线有公共点时，是否存在这样的实数,使得点
关于直线
的对称点
落在曲线的准线上. 若存在,求出的值；若不存在，请说明理由.

23、（本题满分18分）本题共有3个小题，第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题8分.

用记号
表示
，
，其中
，
.

（1）设
（
），求
的值；

（2）若
，
，
，…，
成等差数列，求证：

；

（3）【文科】在条件（1）下，记
，计算
的值.

数学文答案

一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14小题，要求直接将结果填写在答题纸对应的空格中.每个空格填对得4分，填错或不填在正确的位置一律得零分.

1.
； 2.
； 3.【文科】
； 4.【文科】； 5.【文科】
；

6.【文科】
； 7. 【文科】
，
；8.【文科】
； 9.【文科】
；

10.【文科】
； 11.【文科】
； 12.【文科】
； 13.
；

14、5

二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在答题纸相应的空格中. 每题选对得5分，不选、选错或选出的代号超过一个（不论是否都写在空格内），或者没有填写在题号对应的空格内，一律得零分.

题号

15

16

17

18



答案

A

B

A

D



三、解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须写出必要的步骤.

19、 (本题满分12分) 本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分．

【解】（1）【文科】由于
，
，所以

于是

（2）

由于
,
……7分，所以

…………9分

（
）

由于
，所以
，所以

20、(本题满分14分) 本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．

【解】【文科】（1）设圆柱的母线长为
，则根据已知条件可得，

，
，解得

底面
,所以
是三棱锥
的高

，所以
,
,

【文科】（2）取
的中点为,连接
、
，由于
,所以
或其补角即为异面直线
与
所成的角。

在
中，
;
;

所以

，于是异面直线
与
所成的角的大小为
。

21、(本题满分14分) 本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．

【解】（1）由
得
，即
（
）

（
）

由于
，所以
（当且仅当
时，等号成立）

所以当
时，函数

（2）【文科】

①若
，解得
，所以
；

②若
，解得
.所以

由
（
）得，
(
)

所以不等式
(
)恒成立，函数
，所以

22、（本题满分16分）第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题6分．

【解】（1）由
得，
，即
，所以
，
，所以
……3分

（2）当
时，

，直线
：
…4分

将直线
与曲线的方程联立得，
，……5分

消去并整理得，
，其中
……6分

设
、
，则
……7分

于是

……9分

（3）假设存在这样的实数,使得点
关于直线
的对称点
落在曲线的准线上,根据题意可得
，所以直线
：
，即
：
，由于
，方程组
消去得方程
，直线
与曲线有公共点，故
，解得
，所以
……11分

点
与
关于直线
：
对称，则
……12分 得
（
）……13分，当点
落在曲线的准线
上时，

，

所以
，即
……14分

当
时，
；当
时，
，解得

所以
，所以存在这样的实数，满足题设条件。…16分

23、（本题满分18分，第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题8分）

【解】（1）将
代入
中得，

，……1分

其中
，……2分

……3分，所以

……4分

（2）设等差数列的通项公式为
，其中
为公差……5分

则


…6分

因为
……7分，所以

……8分

所以



……10分

（3）【文科】令
，则

，则
……12分，所以

根据已知条件可知，

，所以

所以

。