东城区普通校2013-2014学年第二学期联考试卷

高三数学（文科）

命题校：北京市崇文门中学 2014年3月

本试卷共12页， 150 分，考试时长120分钟．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．

第一部分（选择题 共40分）

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．

（1）集合
，
，则
=

（A）
（B）

（C）
（D）

（2）“
”是
的

（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件

（C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件

（3）设
，
，
，则
的大小关系是

（A）
（B）
（C）
（D）

（4）以下茎叶图记录了甲乙两组各5名同学的数学成绩．甲组成绩中有一个数据模糊，无法确认，在图中以
表示．若两个小组的平均成绩相同，则下列结论正确的是

（A）
，

（B）
，

（C）
，

（D）
，

（5）执行如图所示的程序
框图，如果输出的结果为
，则

判断框内应填入的条件是

（A）

（B）

（C）

（D）

（6）已知函数
（其中
，
，

)的部分图象如图所示，则函数
的解

析式是

（A）

（B）

（C）

（D）

（7）下列命题说法正确的是

（A）
使得
（B）
使
得

（C）
使得
（D）
使得

（8）已知奇函数
的导函数
，
．满足
，则实数
的取值范围是

（A）
（B）

（C）
（D）

第二部分（非选择题 共110分）

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．

（9）复数
的实部是_______．

（10）数列
满足
，且
，则首项
=___，前
项和
=_______．

（11）设点
是区域
内的随机点，则满足
的概率是____．

（12）一个空间几何体的三视图如图所示，则这个几何

体的体积为______．

（13）
中，
为
边上的高，且
，

则
的值为_________．

（14）给定数集
.若对于任意
，有
，且
，则称集合
为闭集合.给出如下四个结论：

① 集合
为闭集合；

② 集合
为闭集合；

③ 若集合
为闭集合，则
为闭集合；

④ 若集合
为闭集合，且


，


，则存在
，使得

.

其中，全部正确结论的序号是_____.

三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．

（
15）（本小题共13分）

已知：△
的三个内角

的对边分别为
，且满足

．

（Ⅰ）求角
的大小；

（Ⅱ）若
，
的面积为
，求
边的长．

（16）（本小题共13分）

某校为了解学生寒假期间的学习情况，从初中及高中各班共抽取了
名学生，对他们每天平均学习时间进行统计．请根据下面的各班人数统计表和学习时间的频率分布直方图解决下列问题：

年级

人数



初一

4



初二

4



初三

6



高一

12



高二

6



高三

18



合计

50





（Ⅰ）抽查的
人中，每天平均学习时间为
~
小时的人数有多少?

（Ⅱ）经调查，每天平均学习时间不少于
小时的学生均来自高中．现采用分层抽样的方法，从学习时间不少于
小时的学生中随机抽取
名学生进行问卷调查，求这三个年级各抽取了多少名学生；

（Ⅲ）在（Ⅱ）抽取的
名学生中随机选取
人进行访谈，求这
名学生来自不同年级的概率．

（17）（本小题共13分）

如图，四棱锥
中，侧面
为等边三角形，
，
，

，
，点
分别为
中点．

（Ⅰ）求证：
平面
；

（Ⅱ）求证：平面
平面
．

（18）（本小题共14分）

已知函数
（
）．

（Ⅰ）若
，求
在
处的切线方程；

（Ⅱ）若
在
单调递增，求
的取值范围；

（Ⅲ）求
的零点个数．（
）．

（19）（本小题共14分）

已知椭圆
（
）的长轴长是
，且过点
．

（Ⅰ）求椭圆
的标准方程；

（Ⅱ）设直线
与椭圆
交于
两点，
为椭圆的右焦点，直线
与
关于
轴对称．求证：直线
过定点，并求出该定点的坐标．

（20）（本小题共13分）

设函数
的定义域分别为
，且


.若对于任意
，

都有
，则称
为
在
上的一个延拓函数.给定
.

（Ⅰ）若
是
在
上的延拓函数，且
为奇函数，求
的解析式；

（Ⅱ）设
为
在
上的任意一个延拓函数，且
是

上的单调函数.

（ⅰ）判断函数
在
上的单调性，并加以证明；

（ⅱ）设
，
，证明：
.

东城区普通校2013-2014学年第二学期联考试卷答题纸

高三数学（文科）

命题校：北京市崇文门中学 2014年3月

第一部分（共40分）

题号

（1）

（2）

（3）

（4）

（5）

（6）

（7）

（8）



答案



















[来源:学科网ZXXK]

第二部分（9-14小题
共30分）

（9） （10） ，

（11） （12）

（13） （14）

（15）（本小题满分13分）

解：

（
16）（本小题满分13分）

解：

（17）（本小题满分13分）

解：

（18）（本小题满分14分）[来源:学*科*网]

解：

[来源:学科网]

（19）（本小题满分14分）

解：

（20）（本小题满分13分）

解：

草 稿 纸

[来源:Z#xx#k.Com]

东城区普通校2013-2014学年第二学期联考试卷

高三数学参考答案及评分标准 （文科）

阅卷须知：

评分标准所注分数仅供参考，其它正确解法可以参照评分标准按相应步骤给分．

一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）

（1）C （2）A 　（3）C （4）A

（5）C
（6）B 　 （7）D （8）B

二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）

（9）
（10）

（11）

（12）
（13）
（14）

注：两个空的填空题第一个空填对得2分，第二个空填对得
3分．

三、解答题（本大题共6小题，共80分）

（15）（本小题满分13分）

解：(Ⅰ)由已知得
，

得到
，

即
，

解得
或
． …………………………………………………………………4分

因为
，故舍去
．

所以
． …………………………………………
……………………………………………6分

(Ⅱ) 由正弦定理可得
．……………………………………………………………………7分

而
，

将
和
代入上式，得出
，
．……………………………………………11分

由余弦定理
，得出
． ………………………………………13分

（16）（本小题满分13分）

解：(Ⅰ)由直方图知，学习时间为
~
小时的频率为
，[来源:学科网]

所以学习时间为
~
小时的人数为
．…………………………………………4分

(Ⅱ)由直方图可得，学习时间不少于
小时的学生有
人．（由人数统计表亦可直 接得出36人）

由人数统计表知，高中三个年级的人数之比为
，

所以从
高中三个年级依次抽取
名学生，
名学生，
名学生． ……………………………8分

（Ⅲ）设高一的
名学生为
，高二的
名学生为
，高三的
名学生为
．

则从
名学生中选取
人所有可能的情形为

（
），（
），（
），（
），（
），（
），（
），（
），（
），（
），（
），（
），（
），（
），（
），共15种可能． ………10分

其中（
），（
），（
），（
），（
），（
），（
），（
），（
），（
），（
），这
种情形符合
名学生来自不同年级的要求．…………12分

故所求概率为
．……………………………………………………………………………13分

（17）（本小题满分13分）

解：（Ⅰ）取
中点
，连结
.

由题意，
,且
,

所以
为平行四边形.

所以
. ……………………………………………………………………………………4分

又因为
平面
，
平面
，

所以
平面
．…………………………………
……………………………………………6分

（Ⅱ）因为侧面
为等边三角形，所以
.……………………………………………8分

由