大庆市高三年级第二次教学质量检测

数学试题参考答案及评分标准（文科）

2014.1

说明：

一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．

二、对计算题当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．

三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．

四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分数．

一．选择题

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12



答案

C

C

A

B

B

D

A

D

C

D

B

C



二．填空题

（13）； （14）
； （15）
； （16）
.

三. 解答题

（17）（本小题满分12分）

解：（I）

. …………………………3分

由
，得
，

∴函数
的单调递增区间为
. …………………………6分

（II）由
，得
，

∵
， ∴
，∴
，∴
， ……………8分

∵
，由正弦定理，得
①

由余弦定理，得
，即
②， …………………10分

由①②解得
. ……………………………12分

（18）（本小题满分12分）

解：（I）设为等比数列
的公比，则由
，
，

得
，解得
或
(舍去). ………………………2分

∴
的通项公式为
. ………………………3分

∵
，∴
，又
，∴
. ………………………5分

∴
. ………………………7分

（II）由（I）知

①

∴

②

∴①-②得

………………………11分

∴
. ………………………12分

（19）（本小题满分12分）

（I）证明：∵
，
∴
，又∵
∥
，

∴四边形
为平行四边形. ……………………2分

∴
∥
，又∵
平面
，
平面
,

∴
∥平面
. ……………………………5分

（II）解：取
的中点
，连接
、
.

∵
，∴
为正三角形，

∴
，
. ………………6分

在
中，
，
，

∴
，

在
中，
，
，
，∴
，∴
，

. ……………………………8分

又∵
平面
，
平面
，

，∴
平面
， ……………………………10分

∵
，

故
. ……………………………12分

（20）（本小题满分12分）

解：（I）圆
的圆心为
，半径
. ……………………………2分

由题意知
,
，

直线
的方程为
，即
， …………………………4分

由直线
与圆
相切，得
，解得
，

故椭圆
的方程为
. ……………………………6分

（II）法一：由
知
，从而直线
与坐标轴不垂直，故可设直线
的方程为
，直线
的方程为
.

联立
，整理得

， ……………………………7分

解得
或
，故点的坐标为
，

同理，点
的坐标为
， ……………………………9分

∴直线
的斜率为
， ……………………………10分

∴直线
的方程为
，

即
. ………………………………11分

所以直线
过定点
. ………………………………12分

（II）法二：由
知
，从而直线
与轴不垂直，故可设直线
的方程为
，

联立
，整理得

.

设
，
，则
，
， （*）

由
，得
. …………………………9分

由
，得

，

将（*）代入，得
， …………………………11分

所以直线
过定点
. …………………………12分

（21）（本小题满分12分）

解：（I）当
时，
，

∵
. ……………………………2分

∴
，令
，得
，

当
时，
，函数
是减函数；当
时，
，函数
是增函数.

∴
的单调增区间为
，单调减区间为
. ……………………………5分

（II）
，由（I）知
，……………………………6分

①若
，
，
是增函数；

若
，
，
是增函数.

∴
，
，不等式恒成立. ……………………………8分

②若
，设
，

当
时，
，函数
是减函数，

则
，
在
上是减函数，

这时
，不等式不成立. ………………………10分

③若
，则当
时，
在
上是减函数，

此时
，不等式不成立.

综上，的取值范围是
. …………………………12分

（22）（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲

解:（I）连结
，由题意知
为直角三角形.

∵
，
，

∴
∽
. ………………2分

∴
，即
.

又
，∴
. ………………5分

（II）∵
是圆
的切线，∴
, ………………………………6分

又
，∴
，……………………………7分

∵
，又
，∴
∽
. ………………8分

则
，即
. ……………………10分

（23）（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程

解：（I）直线
的参数方程为
（为参数），

即
（为参数）. ……………………………3分

由
得：
， ……………………………4分

∴
，∴
，

故圆
的直角坐标方程为
. ……………………………6分

（II）把
代入
得

则
， ………………………………8分

∴

. ………………………………10分

（24）（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲

解：（I）
……………………………3分

当
时，由
得
，解得
， …………………………4分

当
时，由
得
，解得
， ………………5分

当
时，由
得
，解得
， …………………………6分

综上，得
的解集为
. ……………………………7分

（II）∵

. …………………………8分

∴由题意可知
，解得
， ……………………………9分

故所求的取值范围是
. …………………………10分