西安市第八十三中学

2014届高三年级第四次模拟考试数学（文）试题

第Ⅰ卷 选择题（共50分）

一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的（本大题共10小题，每小题5分，共50分）

1．
（ ）

A．
B．
C．
D．

2．若向量
，
满足
，
，且
，则
与
的夹角为（ ）

A．
B．
C．
D．

3．记集合
和集合
表示的平面区域分别为
，若在区域
内任取一点
，则点M落在区域
内的概率为（ ）

A．
B．
C．
D．

4.把函数f(x)的图象向右平移一个单位长度，所得图象恰与函数
的反函数图像重合，则f(x)=（ ）

A.
B.
C.
D.

5．某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的体积是（　　）

A.
B. 4 C. 2 D.

6．已知抛物线
的焦点与双曲线
的一个焦点重合，则该双曲线的离心率为（ ）

A．
B．
C．
D．

7．有五瓶墨水，其中红色一瓶，蓝色、黑色各两瓶，某同学从中随机任取出两瓶，若取出的两瓶中有一瓶是蓝色，求另一瓶也是蓝色的概率（ ）

A．
B．
C．
D．

8．已知等差数列
中，
为其前n项和，若
，
，则当
取到最小值时n的值为（ ）

A．5 B．7 C．8 D．7或8

9．定义运算
为执行如图所示的程序框图输出的s值，则
的值为（ ）

A．4 B．3 C．2 D．―1

10．右图是两组各
名同学体重（单位：
）数据的茎叶图．设，两组数据的平均数依次为
和
，标准差依次为
和
，那么（ ）

（注：标准差
，其中为
的平均数）

A．
，
B．
，

C．
，
D．
，

第Ⅱ卷 非选择题（共100分）

二．填空题：把答案填在答题卡相应题号后的横线上（本大题共5小题，每小题5分，共25分）

11．在△
中，
，
，
，则
；

12.若直线
：
被圆C：
截得的弦最短，则k= ；

13．已知函数
，则满足
的的取值范围是 ．

14．将全体正整数排成一个三角形数阵：按照以上排列的规律，第n行（n≥3）从左向右的第3个数为 ．

15.选做题（请在下列三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评阅记分）

A（极坐标系与参数方程）极坐标系下曲线
表示圆，则点
到圆心的距离为 ；

B（几何证明选讲）已知
是圆
的切线，切点为，
．
是圆
的直径，
与圆
交于点，
，则圆
的半径
．

C（不等式选讲）若关于的不等式
存在实数解，则实数的取值范围是 ．

三．解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤（本大题共6小题，共75分）

16．（本小题12分）已知在等比数列
中，
，且
是
和
的等差中项．

（Ⅰ）求数列
的通项公式；

（Ⅱ）若数列
满足
，求
的前项和
．

17．（本小题12分）设
,

(1)若
,用含的式子表示P;

(2)确定的取值范围，并求出P的最大值.

18．（本小题12分）某校有教职工
人，对他们进行年龄状况和受教育情况（只有本科和研究生两类）的调查，其结果如图：

（Ⅰ）随机抽取一人，是35岁以下的概率为
，求
的值；

（Ⅱ）从50岁以上的6人中随机抽取两人，求恰好只有一位是研究生的概率．

19．（本小题12分）如图，在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD是矩形，SA底面ABCD，SA=AD，点M是SD的中点，ANSC且交SC于点N．

（Ⅰ）求证：SB∥平面ACM；

（Ⅱ）求证：平面SAC平面AMN．

20．（本小题13分）已知椭圆：
的离心率
，
是椭圆上两点，
是线段
的中点，线段
的垂直平分线与椭圆相交于
两点.

（1）求直线
的方程；

（2）是否存在这样的椭圆，使得以
为直径的圆过原点
？若存在，求出该椭圆方程；若不存在，请说明理由.

21．（本小题14分）已知函数
，
．

（Ⅰ）若曲线
在
与
处的切线相互平行，求的值及切线斜率；

（Ⅱ）若函数
在区间
上单调递减，求的取值范围；

（Ⅲ）设函数
的图像C1与函数
的图像C2交于P、Q两点，过线段PQ的中点作x轴的垂线分别交C1、C2于点M、N，证明：C1在点M处的切线与C2在点N处的切线不可能平行．

西安市第八十三中学

2014届高三年级第四次模拟考试数学（文）答案

一、选择题：

1．A 2．C 3．A 4．D 5．B 6．C 7．B 8．D 9．A 10．C

二、填空题：11．
； 12．1； 13．
； 14．
；

15．A．
； B．
； C．

三、解答题：

16．【解】：（Ⅰ）设公比为q，则
，
，∵
是
和
的等差中项，∴
，∴

（Ⅱ）

则

17．【解】：（1）由
有

（2）

即的取值范围是

在
内是增函数，

在
内是减函数.

的最大值是

18．【解】：（Ⅰ）由已知得：
，解得

故
，即

（Ⅱ）将50岁以上的6人进行编号：四位本科生为：1,2,3,4，两位研究生为5,6。

从这6人中任取2人共有15种等可能发生的基本事件，分别为：

12，13，14，15，16，23，24，25，26，34，35，36，45，46，56

其中恰好有一位研究生的有8种，分别为：15，16，25，26，35，36，45，46

故所求的概率为：

19．【解】：（Ⅰ）连接BD，交AC于点O，连接MO， ABCD为矩形，

O为BD中点，又M为SD中点， MO//SB

MO平面ACM，SB平面AC， SB//平面ACM 　

(Ⅱ) SA平面ABCD， SACD

ABCD为矩形， CDAD，且SA
AD=A

CD平面SAD， CDAM

SA=AD，M为SD的中点， AMSD，且CD
SD=D AM平面SCD

AMSC ，又SCAN，且AN
AM=A SC平面AMN

SC平面SAC，平面SAC平面AMN.

20．【解】：解：（1）离心率
，椭圆：

设
直线
的方程为
，

整理得
①

②

由
是线段AB的中点，得

解得
，代入②得，

直线
的方程为

（2）∵
垂直平分
，∴直线
的方程为
，即
，

代入椭圆方程，整理得

又设
∴

假设存在这样的椭圆，使得以
为直径的圆过原点
，则

得
，又
故不存在这样的椭圆.

21．【解】：（Ⅰ）
，

则

∵在
与
处的切线相互平行，

∴
，

（Ⅱ）
在区间
上单调递减
在区间
上恒成立

，∵
，∴
，

只要

（Ⅲ）
，

假设有可能平行，则存在使

=

=
，不妨设
，
>1

则方程
存在大于1的实根，设

则
，∴
，这与存在t>1使
矛盾．