北京市西城区2014年高三5月二模

数 学（文科） 2014.5

第Ⅰ卷（选择题 共40分）

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．

1．设集合
，集合
，则（ ）



（A）

（B）

（C）

（D）





2．在复平面内，复数
对应的点位于（ ）



　（A）第一象限

（B）第二象限



　（C）第三象限

（D）第四象限





3．直线
为双曲线
的一条渐近线，则双曲线
的离心率是（ ）



（A）

（B）

（C）

（D）



4．某四棱锥的三视图如图所示，记A为此棱锥所有棱的长度的集合，则（ ）

（A）
，且

（B）
，且

（C）
，且

（D）
，且

5．设平面向量，，均为非零向量，则“
”是“
”的（ ）



（A）充分而不必要条件

（B）必要而不充分条件



（C）充分必要条件

（D）既不充分也不必要条件





6．在△ABC中，若
，
，
，则
（ ）



（A）

（B）



（C）

（D）





7. 设函数
若函数
在区间
上单调递增，则实数的取值范围是（ ）



（A）

（B）

（C）

（D）





8. 设为平面直角坐标系
中的点集，从中的任意一点作轴、轴的垂线，垂足分别为
，
，记点
的横坐标的最大值与最小值之差为
，点
的纵坐标的最大值与最小值之差为
.

如果是边长为1的正方形，那么
的取值范围是（ ）



（A）

（B）

（C）

（D）





第Ⅱ卷（非选择题 共110分）

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．

9．在等差数列
中，
，
，则公差
_____；
____.

10．设抛物线
的焦点为，
为抛物线
上一点，且点
的横坐标为2，则
.

11．执行如图所示的程序框图，输出的a值为______．

12．在平面直角坐标系
中，不等式组
所表示的平面区域是，不等式组
所表示的平面区域是
. 从区域中随机取一点
，则P为区域
内的点的概率是_____．

13．已知正方形ABCD，AB=2，若将
沿正方形的对角线BD所在的直线进行翻折，则在翻折的过程中，四面体
的体积的最大值是____.

14．已知f是有序数对集合
上的一个映射，正整数数对
在映射f下的象为实数z，记作
. 对于任意的正整数
，映射
由下表给出：



















则
__________，使不等式
成立的x的集合是_____________.

三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．

15．（本小题满分13分）

已知函数
.

（Ⅰ）求函数
的最小正周期；

（Ⅱ）当
时，求函数
的最大值和最小值.

16．（本小题满分13分）

为了解某校学生的视力情况，现采用随机抽样的方式从该校的A，B两班中各抽5名学生进行视力检测．检测的数据如下：

A班5名学生的视力检测结果：4.3，5.1，4.6，4.1，4.9.

B班5名学生的视力检测结果：5.1，4.9，4.0，4.0，4.5.

（Ⅰ）分别计算两组数据的平均数，从计算结果看，哪个班的学生视力较好？

（Ⅱ）由数据判断哪个班的5名学生视力方差较大？（结论不要求证明）

（Ⅲ）根据数据推断A班全班40名学生中有几名学生的视力大于4.6?

17．（本小题满分14分）

如图，在正方体
中，
，为
的中点，
为
的中点.

（Ⅰ）求证：平面
平面
；

（Ⅱ）求证：
平面
；

（Ⅲ）设为正方体
棱上一点，给出满足条件
的点的

个数，并说明理由.

18．（本小题满分13分）

已知函数
，其中
.

（Ⅰ）若
，求函数
的定义域和极值；

（Ⅱ）当
时，试确定函数
的零点个数，并证明.

19．（本小题满分14分）

设
分别为椭圆
的左、右焦点，斜率为的直线
经过右焦点
，且与椭圆W相交于
两点.

（Ⅰ）求
的周长；

（Ⅱ）如果
为直角三角形，求直线
的斜率
.

20．（本小题满分13分）

在无穷数列
中，
，对于任意
，都有
，
. 设
， 记使得
成立的的最大值为
.

（Ⅰ）设数列
为1，3，5，7，
，写出
，
，
的值；

（Ⅱ）若
为等比数列，且
，求
的值；

（Ⅲ）若
为等差数列，求出所有可能的数列
.

参考答案及评分标准

高三数学（文科） 2014.5

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.

1．D 2．A 3．C 4．D

5．B 6．A 7．D 8．B

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.

9．
10．

11．
12．

13．
14．

注：第9，14题第一问2分，第二问3分.

三、解答题：本大题共6小题，共80分. 其他正确解答过程，请参照评分标准给分.

15．（本小题满分13分）

（Ⅰ）解：

……………… 4分

， ……………… 6分

所以函数
的最小正周期为
. ……………… 7分

（Ⅱ）解：由
，得
.

所以
， ……………… 9分

所以
，即
. ……… 11分

当
，即
时，函数
取到最小值
；… 12分

当
，即
时，函数
取到最大值
. …………13分

16．（本小题满分13分）

（Ⅰ）解：A班5名学生的视力平均数为
， ………… 2分

B班5名学生的视力平均数为
. …………… 3分

从数据结果来看A班学生的视力较好. ……………… 4分

（Ⅱ）解：B班5名学生视力的方差较大. ……………… 8分

（Ⅲ）解：在A班抽取的5名学生中，视力大于4.6的有2名，

所以这5名学生视力大于4.6的频率为
． ……………… 11分

所以全班40名学生中视力大于4.6的大约有
名，

则根据数据可推断A班有16名学生视力大于4.6． ……………… 13分

17．（本小题满分14分）

（Ⅰ）证明：在正方体
中，

因为
平面
，
平面
，

所以平面
平面
. ……………… 4分

（Ⅱ）证明：连接
，
，设
，连接
.

因为
为正方体，

所以
，且
，且
是
的中点，

又因为
是
的中点，

所以
，且
，

所以
，且
，

即四边形
是平行四边形，

所以
， ……………… 6分

又因为
平面
，
平面
，

所以
平面
. ……………… 9分

（Ⅲ）解：满足条件
的点P有12个. ……………… 12分

理由如下：

因为
为正方体，
，

所以
.

所以
. ……………… 13分

在正方体
中，

因为
平面
，
平面
，

所以
，

又因为
，

所以
，

则点
到棱
的距离为
，

所以在棱
上有且只有一个点（即中点）到点
的距离等于
，

同理，正方体
每条棱的中点到点
的距离都等于
，

所以在正方体
棱上使得
的点
有12个. ……… 14分

18.（本小题满分13分）

（Ⅰ）解：函数
的定义域为
，且
. ……………… 1分

. ……………… 3分

令
，得
，

当变化时，
和
的变化情况如下：

























↘

↘



↗



……………… 4分

故
的单调减区间为
，
；单调增区间为
．

所以当
时，函数
有极小值
. ……………… 5分

（Ⅱ）解：结论：函数
存在两个零点.

证明过程如下：

由题意，函数
，

因为
，

所以函数
的定义域为. ……………… 6分

求导，得
， ………………7分

令
，得
，
，

当变化时，
和
的变化情况如下：





























↗



↘



↗



故函数
的单调减区间为
；单调增区间为
，
．

当
时，函数
有极大值
；当
时，函数
有极小值
. ……………… 9分

因为函数
在
单调递增，且
，

所以对于任意
，
. ……………… 10分

因为函数
在
单调递减，且
，

所以对于任意
，
. ……………… 11分

因为函数
在
单调递增，且
，
，

所以函数
在
上仅存在一个
，使得函数
， ………… 12分

故函数
存在两个零点（即
和
）. ……………… 13分

19．（本小题满分14分）

（Ⅰ）解：椭圆
的长半轴长
，左焦点
，右焦点
， … ……… 2分

由椭圆的定义，得
，
，

所以
的周长为
. ……………… 5分（Ⅱ）解：因为
为直角三角形，

所以
，或
，或
，

当
时，

设直线
的方程为
，
，
， ……………… 6分

由
得
， ……………… 7分

所以
，
. ……………… 8分

由
，得
， ……………… 9分

因为
，
，

所以

， ……………10分

解得
. ……………… 11分

当
（与
相同）时，

则点A在以线段
为直径的圆
上，也在椭圆W上，

由
解得
，或
， ……………… 13分

根据两点间斜率公式，得
，

综上，直线
的斜率
，或
时，
为直角三角形. ……………14分

20．（本小题满分13分）

（Ⅰ）解：
，
，
. ……………… 3分

（Ⅱ）解：因为
为等比数列，
，
，

所以
， ……………… 4分

因为使得
成立的的最大值为
，

所以
，
，
，
，

，
， ……………… 6分

所以
. ……………… 8分

（Ⅲ）解：由题意，得
，

结合条件
，得
. ……………… 9分

又因为使得
成立的的最大值为
，使得
成立的的最大值为
，

所以
，
. ……………… 10分

设
，则
.

假设
，即
，

则当
时，
；当
时，
.

所以
，
.

因为
为等差数列，

所以公差
，

所以
，其中
.

这与
矛盾，

所以
. ……………… 11分

又因为
，

所以
，

由
为等差数列，得
，其中
. ……………… 12分

因为使得
成立的的最大值为
，

所以
，

由
，得
. ……………… 13分