东城区普通校2013-2014学年第二学期联考试卷

高三 理科数学

命题校：北京宏志中学 　　2014年3月

本试卷共10页，150分，考试用长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。

1. 设集合
,集合
,则

A.
B.
C.
D.

2. 函数
与
在同一直角坐标系中的图象是

A B C D

3. 已知函数
的最小正周期为，则该函数的图象

A. 关于点
对称 B. 关于直线
对称

C. 关于点
对称 D. 关于直线
对称

4. 若双曲线
的离心率是，则实数
的值是　　

A. B.
C.
D.

5. 某程序框图如右图所示,若输出的S=57，则判断框内为

A.
　　　　　 B.

C.
　　　　　D.

6. 设
，函数
的导函数是
，若
是偶函数，则曲线
在原点处的切线方程为

A.
B.

　　C.
D.

7. 如图所示，在边长为1的正方形
中任取一点，

则点恰好取自阴影部分的概率为

A.
B.
C.
D.

8. 从一个三棱柱的6个顶点中任取4个做为顶点，能构成三棱锥的个数设为；过三棱柱任意两个顶点的直线(15条)中，其中能构成异面直线有对，则
的取值分别为

A. 15，45 B. 10, 30 C. 12, 36 D. 12 , 48

第二部分

二、填空题：本大题共6小题,每小题5分，共30分,把答案填在题中横线上。

9. 在
的二项展开式中，的系数为 。

10．在
中，角，，的对边分别为，
，，角，，成等差数列， 则
=________；若同时边，
，成等比数列，则
=________。

11.若实数
满足
,
,则的取值范围是 。

12．已知圆
（为参数）与直线
， 则直线
截圆
所得的弦长为 。

13. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，依次为主视图，侧视图，俯视图，则此几何体的表面积为 。



















































































































































































































14. 关于曲线
，给出下列说法：

①关于坐标轴对称； ②关于点
对称；

③关于直线
对称； ④是封闭图形，面积大于.

则其中正确说法的序号是 .（注：把你认为正确的序号都填上）

三、解答题：本大题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

15．（本题满分13分）

已知
.

(Ⅰ)求
的值；

（Ⅱ）求函数
的单调递增区间.

16.（本题满分13分）

一个袋中装有
个形状大小完全相同的小球，球的编号分别为
.

(Ⅰ) 若从袋中每次随机抽取1个球，有放回的抽取3次，求恰有两次编号为3的倍数的概率；

（Ⅱ）若一次从袋中随机抽取
个球，记球的最大编号为
，求随机变量
的分布列和

的数学期望.

17.（本题满分14分）

如图，已知菱形
的边长为
，
,
.将菱形
沿对角线
折起，使
，得到三棱锥
.

(Ⅰ)若点
是棱
的中点，求证:
平面
；

（Ⅱ）求二面角
的余弦值；

（Ⅲ）设点
是线段
上一个动点，试确定
点的位置，使得
，并证明你的结论.

18.（本题满分13分）

已知函数
.

(Ⅰ)当
时，求
的单调区间；

(Ⅱ)求
在区间
上的最大值.

19.（本题满分13分）

已知直线
与抛物线
相交于，两点，且与圆
相切.

（Ⅰ）求直线
在轴上截距的取值范围；

（Ⅱ）设是抛物线的焦点，且
，求直线
的方程.

20.（本题满分14分）

在数列
和
中，
，
，
，其中
且
，
.

（Ⅰ）若
，
，求数列
的前项和；

（Ⅱ）证明：当
时，数列
中的任意三项都不能构成等比数列；

（Ⅲ）设
，
，设
.当
时，求出相应的集合
.

2013-2014年3月联考参考答案

一、选择题：本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.

题号

1

2

3

4

5

6

7

8



答案

A

B

B

D

C

A

B

C



二、填空题：本大题共6小题,每小题5分,共30分,把答案填在题中横线上.（若有两空，第一空3分；第14题多选、错选得0分，少选得3分）

9. -40 10.
；
11.
12.
13.
14. ①②④

三、解答题：本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.

15解：（1）因为
，所以
，　　　　　　　　（2分）

因为
，所以
， 　　　　　　　　　　（4分）

=
　　　　　　　　　　　　　　（6分）

=
=
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（7分）

（2）

　　　　　　　　（8分）

=
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（10分）

令
，解得

，　　　　　　　　　　　　　 （12分）

所以单调递增区间为[
.　　　　　　　（13分）

16解：（I）从袋中随机抽取1个球，其编号为3的倍数的概率
　　　（2分）

有放回的抽取3次，恰有2次编号为3的倍数的概率为

　　　　　　　　　　 　　　　　　　 （6分）

（II）随机变量
所有可能的取值为
. 　　　　　　　　　　　　　　　（7分）

，
，

，
　

所以，随机变量
的分布列为:























 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　（11分）　

　　　　　　　　　　　　　 （13分）　

17解：（Ⅰ）因为点
是菱形
的对角线的交点,所以
是
的中点.又点
是棱
的中点,所以
. （2分）

因为
平面
,
平面
,所以
平面
.　　　 （4分）

（Ⅱ）由题意,
,因为
,所以
,
. （5分）又因为菱形
,所以
,
.建立空间直角坐标系
,如图所示.

.

所以
　　　　　　（6分）

设平面
的法向量为

,

则有
即：
令
,则
,所以

.（8分）

因为
,所以
平面
.平面
的法向量与
平行,所以平面
的法向量为
.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（9分）

,因为二面角
是锐角,

所以二面角
的余弦值为
.　　　　　　　　　　　　　（10分）

（Ⅲ）解：因为
是线段
上一个动点,设
,
,

则
,所以
,、

则
,
,

由
得
,即
,　　　　（12分）

解得
或
,　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　（13分）

（所以
点是线段
的三等分点,
或
）　　　（14分）

18解：（Ⅰ）

,
（2分）

在区间
上,
；在区间
上
,

故
的单调递增区间是
,单调递减区间是
. 　　　　　　　　（5分）

（Ⅱ）

.

　（7分）

①当
时,由（Ⅰ）知
在
上单调递增,

故在
上
　　　　　　　　　　　　　　　（9分）　

②当
时,
, 在区间
上,
；故
在
上单调递增

故在
上
　　　　　　　　　　　　　　（11分）

③当
时,
,在区间
上,
；在区间
上
,

在
上单调递增,在
上单调递减, （9分）

故在
上
.　　　　　　　　　　（13分）

19解： （Ⅰ）解：设直线
的方程为
.由直线
与圆
相切，

得
，化简得
. 　　　　　　　　　　　　　　　　　（2分）

直线
的方程代入
，消去，得
.（*） 　　　　　（3分）

由直线
与抛物线
相交于，两点，得
，即
.

将
代入上式，得
.解得