长安一中、高新一中、交大附中、师大附中、西安中学

高2014届第三次模拟考试



数学（文）试题



注意事项：

1.本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，总分150分，考试时间120分钟．

2
.答题前，考生须将自己的学校、班级、姓名、学号填写在本试卷指定的位置上．

3.选择题的每小题选出答案后，用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，不能答在试题卷上．

4.非选择题必须按照题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答．超出答题区域或在其他题的答题区域内书写的答案无效；在草稿纸、本试题卷上答题无效．

第I卷（选择题 共50分）

一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的（本大题共10小题，每小题5分，共50分）

1.若复数
是纯虚数，则实数
的值为( )

(A)
或
(B)
(C)
(D)
或

2.已知集
合
,
,则
( )

(A)
(B)
(C)
(D)

3．等差数列
中，如果
，
，则数列
前9项的和为( )

(A)297 (B)144 (C)99 (D)66

4.圆
上的点到直线
的距离最大值是( )

(A)2 (B)1+
(C)
(D)1+

5.某班的全体学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次为：[20,40)，[40,60)，[60,80)，[80,100]．若低于60分的人数是15，则该班的学生人数是( )

(A)45 (B)50

(C)55 (D)60

6.若下框图所给的程序运行结果为
，那么判断框中应填入的关于
的条件是( )

(A)
(B)
(C)
(D)

7.下列命题正确的个数是 ( )

①命题“
”的否定是“
”；

②函数
的最小正周期为
”是“
”的必要不充分条件；

③
在
上恒成立

在
上恒成立；

④“平面向量
与
的夹角是钝角”的充分必要条件是“
”.[来源:Zxxk.Com]

(A)1 (B)2 (C)3 (D)4

8.已知
外接圆
的半径为
，且
．
，从圆
内随机取一个点
，若点
取自
内的概率恰为
，则
的形状为( )

(A)直角三角形 (B)等边三角形 (C)钝角三角形 (D)等腰直角三角形

9.双曲线
的左、右焦点分别是
，过
作倾斜角为
的直线交双曲线右支于
点，若
垂直于
轴，则双曲线的离心率为( )

(A)
(B)
(C)
(D)

10.定义域为
的函数
满足
，当
时，
若当
时，函数
恒成立，则实
数
的取值范围为( )

(A)
(B)
(C)
(D)

第Ⅱ卷（非选择题 共100分）

二、填空题：把答案填在相应题号后的横线上（本大题共5小题，每小题5分，共25分）

11.右图为某几何体的三视图，则该几何体的体积为 .

12.若目标函数
在约束条件
下仅在点
处取得最小值，则实数
的取值范围是 .

13.函数
的最大值为
，最小正周期为
，则有序数对
为 .

14.观察下列等式：
；
；
；……

则当
且
时，
.（最后结果用
表示）

15.（考生注意：请在下列三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评分）

(A)（不等式选讲选做题）己知
，若
恒成立，利用柯西不等式可求得实数
的取值范围是 .

(B)（几何证明选讲选做题）如图，
切圆
于点
，割线
经过圆心
，
，
绕点
逆时针旋转
到
，则
的长为 .

(C)（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，若圆
的极坐标方程为
，若以极点为原点，以极轴为
轴的正半轴建立相应的平面直角坐标系
，则在直角坐标系中，圆心
的直角坐标是 .

三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤（本大题共6小题，共75分）

16.（本小题满分12分）已知函数
.

（Ⅰ）求函数
的单调增区间；

（Ⅱ）在
中，
分别是角
的对边，且
，求
的面积.

17.（本小题满分12分）为了解某市的交通状况，现对其6条道路进行评估，得分分
别为：5,6,7,8,9,10.规定评估的平均得分与全市的总体交通状况等级如下表：

评估的平均得分









全市的总体交通状况等级

不合格

合格

优秀





（Ⅰ）求本次评估的平均得分，并参照上表估计该市的总体交通状况等级；

（Ⅱ）用
简单随机抽样方法从这
条道路中抽取
条，它们的得分组成一个样本，求该样本的平均数与总体的平均数之差的绝对值不超过
的概率.

18.（本小题满分12分）设数列
的前
项和为
，且
，其中
是不为零的常数．

（Ⅰ）证明：数列
是等比数列；

（Ⅱ）当
时，数列
满足
，
，求数列
的通项公式．

19.（本小题满分12分）如图，三棱柱
中，侧棱
平面
，
为等腰直角三角形，
，且
分别是
的中点.

（Ⅰ）求证：
平面
； （Ⅱ）求证：
平面
；

（Ⅲ）设
，求三棱锥
的体积.

20.（本小题满分13分）已知椭圆
的短半轴长为
，动点

在直线
（
为半焦距）上．

（Ⅰ）求椭圆的标准方程；

（Ⅱ）求以
为直径且被直线
截得的弦长为
的圆的方程；

（Ⅲ）设
是椭圆的右焦点，过点
作
的垂线与以
为直径的圆交于点
，求证：线段
的长为定值，并求出这个定值．

21.（本小题满分14分）已
知函数
在
上是减函数，在
上是增函数，函数
在
上有三个零点，且
是其中一个零点．

（Ⅰ）求
的值； （Ⅱ）求
的取值范围；

（Ⅲ）设
，且
的解集为
，求实数
的取值范围．

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高2014届第三次模拟考试



数学（文）答案



第I卷（选择题 共50分）

一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的（本大题共10小题，每小题5分，共50分）

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10



答案

C

C

C

B

B

D

B

B

A

B



 第Ⅱ卷（非选择题 共100分）

二、填空题：把答案填在相应题号后的横线上（本大题共5小题，每小题5分，共25分）

题号

11

12[来源:学科网ZXXK]

13

14

15[来源:Zxxk.Com][来源:Zxxk.Com]













A

B

C



答案

















三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤（本大题共6小题，共75分）

16.（本小题满分12分）

【解析】（Ⅰ）∵

=

=
=
. -----------------3分

∴函数
的单调递增区间是
.------------5分

（Ⅱ）∵
，∴
.

又
，∴
.

∴
. -----------------7分

在
中，∵
，

∴
,即
.

∴
. --------
---------10分

∴

-----------------12分

17.（本小题满分12分）

【解析】（Ⅰ）6条道路的平均得分为
.-----------------3分

∴该市的总体交通状况等级为合格. -----------------5分

（Ⅱ）设
表示事件“样本平均数与总体平均数之差的绝对值不超过
”. ---------7分

从
条道路中抽取
条的得分组成的所有基本事件为：
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，共
个基本事件． -----------------9分

事件
包括
，
，
，
，
，
，
共
个基本事件，

∴
．

答：该样本平均数与总体平均数之差的绝对值不超过
的概率为
.-----------------12分

18.（本小题满分12分）

【解析】（Ⅰ）证明：因为
,则
，

所以当
时，
，整理得
．-----------
------4分

由
，令
，得
，解得
．

所以
是首项为
，公比为
的等比数列． -----------------6分

（Ⅱ）当
时，由（Ⅰ）知，则
，

由
，得
， -----------------8分

当
时，可得

＝
， -----------------10分

当
时，上式也成立．

∴数列
的通项公式为
．
-----------------12分

19.（本小题满分12分）

【解析】（Ⅰ）取
中点
，连接
，

∵
，∴
.

∴四边形
是平行四边形.

∴
，又∵
，

∴
平面
.
-----------------4分

（Ⅱ）∵
是等腰直角三角形
斜边
的中点，∴
.

又∵三棱柱
是直三棱柱，∴面
面
.

∴
面
，∴
.

设
，则
.

∴
. ∴
.

又
，∴
平面
. -----------------8分

（Ⅲ）∵点
是线段
的中点，∴点
到平面
的距离是点
到平面
距离的
.

而
，∴三棱锥
的高为
；在
中，
，所以三棱锥
的底面面积为
，故三棱锥
的体积为
. -----------------12分

20.（本小题满分13分）

【解析】（Ⅰ）由点
在直线
上，得
，

故
， ∴
． 从而
． -----------------2分

所以椭圆方程为
． -----------------4分

（Ⅱ）以
为直径的圆的方程为
．

即
． 其圆心为
,半径
．-----------------6分

因为以
为直径的圆被直线
截得的弦长为
，

所以圆心到直线
的距离
．

所以
，解得
．所求圆的方程为
．----------------9分

（Ⅲ）方法一：由平几知：
，

直线