上海市普陀区2014届高三4月教学质量调研（二模）

数学理试题

考生注意： 2014.4

1.答卷前，考生务必在答题纸上将姓名、考试号填写清楚，并在规定的区域贴上条形码.

2.本试卷共有23道题，满分150分.考试时间120分钟.

3.本试卷另附答题纸，每道题的解答必须写在答题纸的相应位置，本卷上任何解答都不作评分依据.

一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14小题，

1．若复数
（是虚数单位），则
.

2．若集合
，
，则
.

3．【理科】方程
的解
.

4．【理科】若向量
，
，且
，则
.

5．【理科】若
，在极坐标系中，直线
与曲线
相切，则实数
.

6．【理科】若偶函数
(
)满足条件：
，则函数
的一个周期为 .

7．【理科】若为曲线
（为参数）上的动点，
为坐标原点，
为线段
的中点，则点
的轨迹方程是 .

8．【理科】某质量监测中心在一届学生中随机抽取39人，对本届学生成绩进行抽样分析.统计分析的一部分结果，见下表:

统计组

人数

平均分

标准差



组









组









根据上述表中的数据，可得本届学生方差的估计值为 (结果精确到
).

【理科】等比数列
的前项和为
，若对于任意的正整数
，均有
成立，则公比
.

10．【理科】在一个质地均匀的小正方体六个面中，三个面标0，两个面标1，一个面标2，将这个小正方体连续掷两次，若向上的数字的乘积为偶数
，则
.

11．【理科】如图所示，在一个
(
且
)的正方形网格内涂色,要求两条对角线的网格涂黑色，其余网格涂白色.若用
表示涂白色网格的个数与涂黑色网格的个数的比值，则
的最小值为 .

12．【理科】若三棱锥
的底面是边长为的正三角形，且
平面
，则三棱锥
的体积的最大值为 .

13．若
表示
阶矩阵
中第行、第
列的元素（、
），

【理科】则
（结果用含有的代数式表示）.

14．【理科】已知函数
，若不等式
恒成立，则实数的取值范围是 .

二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在答题纸相应的空格中. 每题选对得5分，不选、选错或选出的代号超过一个（不论是否都写在空格内），或者没有填写在题号对应的空格内，一律得零分.

15. 下列命题中，是假命题的为…………………………………………………………………………（ ）

平行于同一直线的两个平面平行.
平行于同一平面的两个平面平行.

垂直于同一平面的两条直线平行.
垂直于同一直线的两个平面平行.

16.【理科】已知曲线
:
（
）和
:
（
）有相同的焦点，分别为
、
,点
是
和
的一个交点,则△
的形状是………………………………………（ ）

锐角三角形.
直角三角形.
钝角三角形.
随、的值的变化而变化.

【

17. 若函数
，则使得“函数
在区间
内有零点”成立的一个必要非充分条件是…………………………………………………………………………………………………………（ ）

.

.

.

.

18. 对于向量
（
），把能够使得
取到最小值的点称为
（
）的“平衡点”. 如图，矩形
的两条对角线相交于点
,延长
至,使得
，联结
,分别交
、
于、
两点.下列结论中，正确的是……………………………………（ ）

、
的“平衡点”必为
.
、
、的“平衡点”为、的中点.

、、
、的“平衡点”存在且唯一.

、、、的“平衡点”必为.

三、解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸规定的方框内写出必要的步骤.

19、 (本题满分12分) 本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分．

如图，在
平面上，点
，点在单位圆上，
（
）

（1）【理科】若点
，求
的值；

（2）若
，四边形
的面积用
表示，求
的取值范围.

20、(本题满分14分) 本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．

如图，已知
是圆柱
底面圆
的直径，底面半径
，圆柱的表面积为
；点
在底面圆
上，且直线
与下底面所成的角的大小为
.

（1）【理科】求点到平面
的距离；

（2）【理科】求二面角
的大小（结果用反三角函数值表示）.

21、(本题满分14分) 本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．

已知函数
的反函数为
，记
.

（1）求函数
的最小值；

（2）【理科】若函数
在区间
上是单调递增函数，求实数的取值范围.

22、（本题满分16分）本题共有3个小题，第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题6分．

已知曲线:
，直线
经过点
且其一个方向向量为
.

若曲线的焦点在直线
上，求实数
的值；

当
时，直线
与曲线相交于、两点，求
的值；

当
（
）变化且直线
与曲线有公共点时，是否存在这样的实数,使得点
关于直线
的对称点
落在曲线的准线上. 若存在,求出的值；若不存在，请说明理由.

23、（本题满分18分）本题共有3个小题，第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题8分.

用记号
表示
，
，其中
，
.

（1）设
（
），求
的值；

（2）若
，
，
，…，
成等差数列，求证：

；

（3）【理科】在条件（1）下，记
，且不等式
恒成立，求实数的取值范围.

数学理答案

一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14小题，要求直接将结果填写在答题纸对应的空格中.每个空格填对得4分，填错或不填在正确的位置一律得零分.

1.
； 2.
； 3.【理科】
； 4. 【理科】
； 5. 【理科】；

6. 【理科】1等； 7. 【理科】
；　；8.【理科】
； 9. 【理科】
；

10. 【理科】
；； 11. 【理科】
； 12. 【理科】
； 13. 【理科】
；

14、5

二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在答题纸相应的空格中. 每题选对得5分，不选、选错或选出的代号超过一个（不论是否都写在空格内），或者没有填写在题号对应的空格内，一律得零分.

题号

15

16

17

18



答案

A

B

A

D



三、解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须写出必要的步骤.

19、 (本题满分12分) 本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分．

【解】（1）【理科】由于
，
，所以
，

于是

（2）

由于
,
……7分，所以

…………9分

（
）

由于
，所以
，所以

20、(本题满分14分) 本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．

【解】（1）【理科】设圆柱的母线长为
，则根据已知条件可得，

，
，解得

因为
底面
，所以
是
在底面
上的射影，

所以
是直线
与下底面
所成的角，即

在直角三角形
中，
，

，
.

是底面直径，所以
.以为坐标原点，以
、
分别为、轴建立空间直角坐标系如图所示：则
、
、

、
,于是
,
,

设平面
的一个法向量为
，则
，

不妨令
，则
，所以到平面
的距离

所以点到平面
的距离为
。

（2）【理科】平面
的一个法向量为

由（1）知平面
的一个法向量

二面角
的大小为
，则

由于二面角
为锐角，所以二面角
的大小为

21、(本题满分14分) 本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．

【解】（1）由
得
，即
（
）

（
）

由于
，所以
（当且仅当
时，等号成立）

所以当
时，函数

（2）【理科】由
（
）得，
…8分

在区间
上是单调递增函数需满足：当
时，
，即
……10分

…12分，即
，…13分，所以
…14分

22、（本题满分16分）第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题6分．

【解】（1）由
得，
，即
，所以
，
，所以
……3分

（2）当
时，

，直线
：
…4分

将直线
与曲线的方程联立得，
，……5分

消去并整理得，
，其中
……6分

设
、
，则
……7分

于是

……9分

（3）假设存在这样的实数,使得点
关于直线
的对称点
落在曲线的准线上,根据题意可得
，所以直线
：
，即
：
，由于
，方程组
消去得方程
，直线
与曲线有公共点，故
，解得
，所以
……11分

点
与
关于直线
：
对称，则
……12分 得
（
）……13分，当点
落在曲线的准线
上时，

，

所以
，即
……14分

当
时，
；当
时，
，解得

所以
，所以存在这样的实数，满足题设条件。…16分

23、（本题满分18分，第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题8分）

【解】（1）将
代入
中得，

，……1分

其中
，……2分

……3分，所以

……4分

（2）设等差数列的通项公式为
，其中
为公差……5分

则


…6分

因为
……7分，所以

……8分

所以



……10分

（3）【理科】令
，则
……11分

，则
……12分，所以

……13分

根据已知条件可知，

，所以
……14分

将
、
代入不等式
得，
……15分

当为偶数时，
，所以
；……16分；当为奇数，
，所以
；……17分，综上所述，所以实数的取值范围是
。