大庆市高三年级第二次教学质量检测

数学试题参考答案及评分标准（理科）

2014.1

说明：

一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．

二、对计算题当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．

三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．

四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分数．

一．选择题

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12



答案

C

D

A

B

B

C

B

A

D

D

C

C





二．填空题

（13）
； （14）
； （15）
； （16）
.

三. 解答题

（17）（本小题满分12分）

解：（I）

. …………………………3分

由
，得
，

∴函数
的单调递增区间为
. …………………………6分

（II）由
，得
，

∵
， ∴
，∴
，∴
，……………8分

∵
，由正弦定理，得
①

由余弦定理，得
，即
②，…………………10分

由①②解得
. ……………………………12分

（18）（本小题满分12分）

解：（I）∵
，
，∴
，

∴
，∴
， ……………………2分

又
，∴数列
是以为首项，
为公比的等比数列，

∴
. …………………………4分

∵
，∴
，又
，∴
. ………………………6分

∴
. …………………………7分

（II）由（I）知

①

∴

②

∴①-②得

, ……………………………10分

. ……………………………11分

∴
. ……………………………12分

（19）（本小题满分12分）

解：取
的中点
，连接
、
.

∵
，∴
为正三角形，∴
，
，………1分

在
中，
，
，∴
，

在
中，
，
，
，

∴
，

∴
，
. ………………2分

又∵
平面
，
平面
，

，∴
平面
， ……………………………4分

又∵因为
平面
，故平面
平面
. ……………………………6分

（II）以
为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系
，

则
，
，
，

，
，

∴
，
，
， …………………………8分

设平面
的法向量为
，则
即
，

令
，则
，可取
，

设平面
的法向量为
，则
，即
，

令
，则
，可取
， ………………………………10分

从而
，

故二面角
的余弦值为
. ……………………………12分

（20）（本小题满分12分）

解：（I）当
的坐标为
时，设过
的切线方程为
，……………………1分

联立
，整理得
①，

令
，解得
， ……………………………2分

∴
，

将
代入方程①得
，∴
，∴点
到
的距离为，

∴过
三点的圆的圆心为
，
，

∴圆的标准方程为
. ……………………5分

又圆心
到直线
的距离
，因此，圆与直线
相切. ………6分

（II）设切点
，直线
上的点为
，

过抛物线上点
的切线方程为
，

∵
，∴
，

从而过抛物线上点
的切线方程为
，

又切线过点
，∴
，即
，

同理可得过点
的切线方程为
. ……………………8分

∵
，
，且
是方程
的两实根，

∴
，∴
， ……………………10分

当
时，即
时，对直线
上任意点
均有
，

当
时，即
，
与
不垂直，

综上，当
时，直线
上存在无穷多个点
，使
，当
时，直线
上不存在满足条件的点
. ………………………………12分

（21）（本小题满分12分）

解：（I）方法1：
的定义域为
，
，……………………1分

①若
，则
，
在区间
上是增函数，

∵
，

∴
，函数
在
有唯一零点； ………………………………2分

②若
，
有唯一零点
； ………………………………3分

③若
，令
，得
，

当变化时，
，
的变化情况如下表：











﹢



﹣















故在区间
上，
的极大值（即最大值）为
. ………………5分

又∵
，∴函数
的图象不可能全在轴上方，

从而由题意可知
，即
，解得

故所求实数的取值范围为
. …………………………………6分

方法2：函数
无零点
方程
，即
在
上无实数解. …………1分

令
，则
， …………………………………2分

由
，得
.

在区间
上，
，函数
单调递增；在区间
上，
，函数
单调递减，故在区间
上
的极大值（即最大值）为
， ………………5分

注意到
时，
；
时，
；
时，
，

故方程
无实数解

，

即所求实数的取值范围为
. ………………………………6分

（II）由题意知，
有相异零点
，设
，

∵
，∴
，

∴
，
， ………………………………7分

原不等式
等价于
等价于
，

等价于
等价于
，

令
，则
，于是


. …………………………9分

设
，于是
，

∴函数
在
上单调递增， ………………………………11分

∴
，即不等式
成立，

故所证不等式
成立. ………………………………12分

（22）（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲

解:（I）连结
，由题意知
为直角三角形.

∵
，
，

∴
∽
. ………………2分

∴
，即
.

又
，∴
………………5分

（II）∵
是圆
的切线，∴
, …………………………………6分

又
，∴
， …………………………………7分

∵
，又
，∴
∽
.………………………8分

则
，即
. ……………………………10分

（23）（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程

解：（I）直线
的参数方程为
（为参数），

即