西安市第八十三中学

2014届高三年级第四次模拟考试数学(理)试题

第Ⅰ卷（选择题 共50分）

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．

1．设全集
，集合
，则
（ ）

A.
B.
C.
D.

2. 复数
等于（ ）

A．
B.
C.
D.

3.
的展开式中，常数项等于（ ）

A. 15 B. 10 C.
D.

4．已知，
表示两个不同的平面，为平面内的一条直线，则“
”是“
”的( )

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

5．采用系统抽样方法从1000人中抽取50人做问卷调查，为此将他们随机编号为1，2，…，1000，适当分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为8．抽到的50人中，编号落入区间[1，400]的人做问卷A，编号落入区间[401，750]的人做问卷B，其余的人做问卷C．则抽到的人中，做问卷C的人数为（ ）

A. 12 B. 13 C. 14 D. 15

6．A、B、C、D、E五人并排站成一排，如果B必须站在A的右边(A、B可以不相邻)，那么不同

的排法共有(　　)

A．24种 B．60种 C．90种 D．120种

7.下图是某算法的程序框图，则程序运行后输出的结果是( )

A.8 B.9 C.10 D.11

8．已知抛物线的方程为
，焦点为F，O为坐标原点，A是该抛物线上一点，
与轴的正方向的夹角为
，若
的面积为
，则的值为（ ）

A. 2 B.
C.2或
D. 2或

9.已知函数
, 则
( )

A.
B.
C.
D.

10.设函数
在R上可导，其导函数为
，且函数
的图像如图（第8题图）所示，则下列结论中一定成立的是（ ）

A．函数
有极大值
和极小值

B．函数
有极大值
和极小值

C．函数
有极大值
和极小值

D．函数
有极大值
和极小值

第Ⅱ卷（非选择题 共100分）

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡相应位置．

11．设，满足约束条件
，

则
的最小值是 .

12．某四面体的三视图如下图所示，

则该四面体的四个面中，直角

三角形的面积和是_______.

13．将全体正整数排成一个三角形数阵：

1

2 3

4 5 6

7 8 9 10

…… …… ……

按照以上排列的规律，第行（≥3）从左向右的第3 个数为 ．

14．在面积为S的△ABC的边AB上任取一点P，则△PBC的面积大于
的概率是 .

15．（考生注意：请在以下三个小题中，任选一个作答.若多做,则按所做的第一题评卷计分）

A．（不等式选做题）若不等式
的解集为空集，则实数的取值范围为 ．

B．（几何证明选做题）
是圆O的直径，为圆O上

一点，过作圆O的切线交
延长线于点
，若

DC=2，BC=1，则
.

C．（坐标系与参数方程选做题），在极坐标系

（
）中，直线
被圆
截得的弦的长是 ．

三、解答题：本大题共6小题,共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

16．（本小题满分12分）已知等差数列{
}满足
，
.

（I）求数列{
}的通项公式； （II）求数列
的前项和．

（本小题满分12分）已知
=(
,
),
=(
,
)，

（R）．

（I）求函数
的最小值和最小正周期；

（II）设?ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c且
,
，若
，求a,b的值．

18．（本小题满分12分）某校从参加某次知识竞赛的同学中，选取60名同学将其成绩（百分制，均为整数）分成6组后，得到部分频率分布直方图（如图），观察图中的信息，回答下列问题．

(Ⅰ)求分数在[70，80）内的频率，并补全这个频率分布直方图；

(Ⅱ)根据频率分布直方图，估计本次考试的平均分；

(Ⅲ)若从60名学生中随机抽取2人，抽到的学生成绩在[40，70）记0分，抽到的学生成绩

在[70，100]记1分，用X表示抽取结束后的总记分，求X的分布列和数学期望．

19．（本小题满分12分）如图，在四棱锥

中，
//
，
，
，

，平面
平面
．

（Ⅰ）求证：平面
平面
；

（Ⅱ）若直线
与平面
所成的角的正弦值为

，求二面角
的平面角的余弦值．

20．（本小题满分13分）已知椭圆

的两个焦点分别为
，
，

离心率为
，过
的直线
与椭圆
交于
，
两点，且△
的周长为
．

(Ⅰ)求椭圆
的方程；

(Ⅱ)过原点
的两条互相垂直的射线与椭圆
分别交于，两点，求证：点
到直线
的距离为定值，并求出这个定值．

21．（本小题满分14分）已知
函数
．

（Ⅰ）求
的最小值；

（Ⅱ）若
在
上为单调增函数，求实数的取值范围；

（Ⅲ）证明：
…
．

西安市第八十三中学2014届第4次模拟数学答案（理）

选择题（本大题共10小题，每小题5分,满分50分，在每小题给出的四个选项中只有一项是正确的．）

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10



答案

D

C

A

B

A

B

C

A

B

D





二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．

11．-3. 12。
13．
． 14．
`

15．请考生选答一题,若多答,则按所答的第一题计分.A. .
B.
C.
．

三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

16.解：

（I）设等差数列
的公差为d，由已知条件可得

解得

故数列
的通项公式为
………………5分

（II）设数列
，即
，

所以，当
时，

=

所以

综上，数列
………………12分

17、解.

，

则
的最小值是，

最小正周期是
；

，则
，

，

，
，

，由正弦定理，得
，

由余弦定理，得
，即
，

由解得
．

18． 解析] 解：（Ⅰ）设分数在
内的频率为x，根据频率分布直方图，

则有
，可得x=0.3.

所以频率分布直方图如图所示：

……………4分

（Ⅱ）平均分为：

……6分

（Ⅲ）学生成绩在[40,70)的有0.4×60=24人，在[70,100]的有0.6×60=36人，

且X的可能取值是0，1，2．

则
，
，
=
．

所以X的分布列为：

X

0

1

2



P











所以EX＝0×
＋1×
＋2×
＝
=
． ……………12分

　19．法一（Ⅰ）取
中点，连接
，则
，

∴四边形
是平行四边形，∴
//

∵直角△
和直角△
中，

∴直角△
直角△
，易知