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高2014届第三次模拟考试



数学（理）试题



注意事项：

1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，总分150分，考试时间120分钟．

2.答题前，考生须将自己的学校、班级、姓名、学号填写在本试卷指定的位置上．

3.选择题的每小题选出答案后，用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，不能答在试题卷上．

4.非选择题必须按照题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答．超出答题区域或在其他题的答题区域内书写的答案无效；在草稿纸、本试题卷上答题无效．

第I卷（选择题 共50分）

一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的（本大题共10小题，每小题5分，共50分）

1.若复数
是纯虚数，则实数
的值为( )

(A)
或
(B)
(C)
(D)
或

2.已知集合
,
,则
( )

(
A)
(B)
(C)
(D)

3．等差数列
中，如果
，
，则数列
前9项的和为( )

(A)297 (B)144 (C)99 (D)66

4.
圆
上的点到直线
的距离最大值是( )

(A)2 (B)1+
(C)
(D)1+

5.某班的全体学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次为：[20,40)，[40,60)，[60,80)，[80,100]．若低于60分的人数是15，则该班的学生人数是( )

(A)45 (B)50 [来源:Z+xx+k.Com]

(C)55
(D)60

6.若下框图所给的程序运行结果为
，那么判断框中应填入的关于
的条件是( )

(A)
(B)
(C)
(D)
[来源:学科网ZXXK]

7.下列命题正确的个数是 ( )

①命题“
”的否定是“
”；

②函数
的最小正周期为
”是“
”的必要不充分条件；

③
在
上恒成立

在
上恒成立；

④“平面向量
与
的夹角是钝角”的充分必要条件是“
”.

(A)1 (B)2 (C)3 (D)4

8.已知
外接圆
的半径为
，且
．
，从圆
内随机取一个点
，若点
取自
内的概率恰为
，则
的形状为( )

(A)直角三角形 (B)等边三角形 (C)钝角三角形 (D)等腰直角三角形

9.
双曲线
的左、右焦点分别是
，过
作倾斜角为
的直线交双曲线右支于
点，若
垂直于
轴，则双曲线的离心率为( )

(A)
(B)
(C)
(D)

10.定义域为
的函数
满足
，当
时，
若当
时，函数
恒成立，则实数
的取值范围为( )

(A)
(B)
(C)
(D)

第Ⅱ卷（非选择题 共100分）

二、填空题：把答案填在
相应题号后的横线上（本大题共5小题，每小题5分，共25分）

11.右图为某几何体的三视图，则该几何体的体积为 .

12.若目标函数
在约束条件
下仅在点
处取得最小值，则实数
的
取值范围是 .

13.函数
的最大值为
，最小正周期为
，则有序数对
为 .

14.观察下列等式：
；
；
；……

则当
且
时，
.（最后结果用
表示）

15.（考生注意：请在下列三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评分）

(A)
（不等式选讲选做题）己知
，若
恒成立，利用柯西不等式可求得实数
的取值范围是 .

(B)（几何证明选讲选做题）如图，
切圆
于点
，割线
经过圆心
，
，
绕点
逆时针旋转
到
，则
的长为 .

(C)（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，若圆
的极坐标方程为
，若以极点为原点，以极轴为
轴的正半轴建立相应的平面直角坐标系
，则在直角坐标系中，圆心
的直角坐标是 .

三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤（本大题共6小题，共75分）

16.（本小题满分12分）已知函数
.

（Ⅰ）求函数
的单调增区间；

（Ⅱ）在
中，
分别是角
的对边，且
，求
的面积.

17.（本小题满分12分）设数列
的前
项和为
，且
，其中
是不
为零的常数．

（Ⅰ）证明：数列
是等比数列；

（Ⅱ）当
时，数列
满足
，
，求数列
的通项公式．

18.（本小题满分12分）如图，三棱柱
中，侧棱
平面
，
为等腰直角三角形，
，且
分别是
的中点.

（Ⅰ）求证：
平面
；

（Ⅱ）求锐二面角
的余弦值.

19.（本小题满分12分）一个口袋中有
个白球和
个红球（
，且
），每次从袋中摸出两个球（每次摸球后把这两个球放回袋中），若摸出的两个球颜色相同为中奖，否则为不中奖．

(Ⅰ)试用含
的代数式表示一次摸球中奖的概率
；

(Ⅱ)若
，求三次摸球恰有一次中奖的
概率；

(Ⅲ)记三次摸球恰有一次中奖的概率为
，当
为何值时，
取最大值.

20.（本小题满分13分）已知椭圆
的短半轴长为
，动点

在直线
（
为半焦距）上．

（Ⅰ）求椭圆的标准方程；

（Ⅱ）求以
为直径且被直线
截得的弦长为
的圆的方程；

（Ⅲ）设
是椭圆的右焦点，过点
作
的垂线与以
为直径的圆交于点
，

求证：线段
的长为定值，并求出这个定值．

21.（本小题满分14分）设函数
．

（Ⅰ）求
的单调区间；

（Ⅱ）当
时，若方程
在
上有两个实数解，求实数
的取值范围；

（Ⅲ）证明：当
时，
．

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高2014届第三次模拟考试



数学（理）答案



第I卷（选择题 共50分）

一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的（本大题共10小题，每小题5分，共50
分）

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10



答案

C

C

C

B

B

D

B

B

A

B



 第Ⅱ卷（非选择题 共100分）

二、填空题：把答案填在相应题号后的横线上（本大题共5小题，每小题5分，共25分）

题号

11[来源:Z,xx,k.Com]

12

13[来源:Z&xx&k.Com]

14

15[来源:学科网]













A

B

C



答案



















三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤（本大题共6小题，共75分）

16.（本小题满分12分）

【解析】（Ⅰ）∵

=

=
=
.……………………3分

∴函数
的单调递增区间是
.………5分

（Ⅱ）∵
，∴
.

又
，∴
.

∴
. …………………7分

在
中，∵
，

∴
,即
.

∴
. …………………………10分

∴

……………………12分

17.（本小题满分12分）

【解析】（Ⅰ）证明：因为
,则
，

所以当
时，
，整理得
．-------------4分

由
，令
，得
，解得
．

所以
是首项为
，公比为
的等比数列． -----------------6分

（Ⅱ）当
时，由（Ⅰ）知，则
，

由
，得
， ----------------- 8分

当
时，可得

＝
， -----------------10分

当
时，上式也成立．

∴数列
的通项公式为
． ----------------- 12分

18.（本小题满分12分）

【解析】（Ⅰ）连结
，∵
是等腰直角三角形
斜边
的中点，∴
.

又
三棱柱
为直三棱柱，

∴面
面
，

∴
面
，
. --
-----2分

设
，则
.

∴
，∴
. -------------
------4分

又
，∴
平面
.-------------------6分

（Ⅱ）以
为坐标原点，
分别为
轴建立直角坐标系如图，设
，

则
，

，
.

-------------------8分

由（Ⅰ）知，
平面
，

∴可取平面
的法向量
.

设平面
的法向量为
，

由

∴可取
.-------------------10分

设锐二面角
的大小为
，

则
.

∴所求锐二面角
的余弦值为
.-------------------12分

19.（本小题满分12分）

【解析】(Ⅰ)一次摸球从
个球中任选两个，有
种选法，

其中两球颜色相同有
种选法；

∴一次摸球中奖的概率
.----------------- 4分

(Ⅱ)若
，则一次摸球中奖的概率是
，三次摸球是独立重复实验，三次摸球中恰有一次中奖的概率是
. ----------------- 8分

(Ⅲ)设一次摸球中奖的概率是
，

则三次摸球中恰有一次中奖的概率是
，

∵
，

∴
在
是增函数，在
是减函数，

∴当
时，
取最大值. -----------------10分

由
.

∴
时，三次摸球中恰有一次中奖的概率最大．-----------------12分

20.（本小题满分13分）

【解析】（Ⅰ）由点
在直线
上，得
，

故
， ∴
． 从而
．