一、选择题：本大题10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的。

（1）已知为虚数单位，复数
的虚部是

（A）
（B）
（C）
（D）

（2）设集合
，集合
，则

（A）
（B）
（C）
（D）

（3）若是的必要条件，是的充分条件，那么下列推理一定正确的是

（A）
（B）
（C）
（D）

（4）如题（4）图是收集重庆市2013年9月各气象采集点处

的平均气温（单位：℃）的数据制成的频率分布直方图，

图中有一处因污迹看不清。已知各采集点的平均气温范

围是
，且平均气温低于22.5℃的采集点个数

为11，则平均气温不低于22.5℃的采集点个数为

（A）6

（B）7

（C）8

（D）9

（5）执行如题（5）图所示的程序框图，则输出的为

（A）20

（B）14

（C）10

（D）7

（6）某几何体的三视图如题（6）所示，其侧视图是一个边长为1的等边三角形，俯视图是两个正三角形拼成的菱形，则这个几何体的体积为

（A）1

（B）

（C）

（D）

（7）设
是椭圆
上两点，点关于轴的对称点为（异于点），若直线
分别交轴于点
，则

（A）0 （B）1 （C）
（D）2

（8）对任意实数
，定义运算
：
，设
，则
的值是

（A） （B）
（C） （D）不确定

（9）已知
中，
边的中点，过点的直线分别交直线
、
于点、，若
，
，其中
，则
的最小值是

（A）1 （B）
（C）
（D）

（10）已知
，函数
的零点分别为
，函数
的零点分别为
，则
的最小值为

（A）1 （B）
（C）
（D）3

二、填空题：本大题共6小题，考生作答5小题，每小题5分，共25分。把答案填写在答题卡相对应位置上。

（11）已知
，且
，则
。

（12）等比数列
满足：对任意
，则公比
。

（13）已知平面区域
，直线
和曲线
有两个不同的交点，直线
与曲线
围成的平面区域为
，向区域内随机投一点，点落在区域
内的概率为
，若
，则实数的取值范围是 。

考生注意：（14）、（15）、（16）三题为选做题，请从中任选两题作答，若三题全做，则按前两题给分。

（14）如题（14）图：两圆相交于点、
，直线
与
分别与

两圆交于点、
和
、
，
，

则
。

（15）在直角坐标系
中，以原点
为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系。已知直线
（为参数）与曲线
异于点
的交点为，与曲线
异于点
的交点为，则
。

（16）函数
，若不等式
的解集为
，则实数的值为 。

三、解答题：本大题共6小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或深处步骤。

（17）（本小题满分13分）

已知向量
，函数
的最小正周期为
。

（I）求的值；

（II）设
的三边、
、满足：
，且边
所对的角为，若关于的方程
有两个不同的实数解，求实数
的取值范围。

（18）（本小题满分13分）

某学校在一次运动会上，将要进行甲、乙两名同学的乒乓球冠亚军决赛，比赛实行三局两胜制。已知每局比赛中，若甲先发球，其获胜的概率为
，否则其获胜的概率为
。

（I）若在第一局比赛中采用掷硬币的方式决定谁先发球，试求甲在此局获胜的概率；

（II）若第一局由乙先发球，以后每局由负方先发球。规定胜一局记2分，负一局记0分，记
为比赛结束时甲的得分，求随机变量
的分布列及数学期望
。

（19）（本小题满分13分）

如题（19）图，直三棱柱
中，
，

为
中点，
上一点，且
。

（I）当
时，求证：
平面
；

（II）若直线
与平面
所成的角为
，求
的值。

（20）（本小题满分12分）

已知函数
。

（I）设函数
，当
时，讨论
的单调性；

（II）若函数
在
处取得极小值，求的取值范围。

（21）（本小题满分12分）

已知椭圆
和椭圆
的离心率相同，且点
在椭圆
上。

（I）求椭圆
的方程；

（II）设为椭圆
上一点，过点作直线交椭圆
于、
两点，且恰为弦
的中点。求证：无论点怎样变化，
的面积为常数，并求出此常数。

（22）（本小题满分12分）

如题（22）图所示的两个同心圆盘均被等分（
且
），在相重叠的扇形格中依次同时填上
，内圆盘可绕圆心旋转，每次可旋转一个扇形格，当内圆盘旋转到某一位置时，定义所有重叠扇形格中两数之积的和为此位置的“旋转和”。

（I）求个不同位置的“旋转和”的和；

（II）当为偶数时，求个不同位置的“旋转和”的最小值；

（III）设
，在如图所示的初始位置将任意

对重叠的扇形格中的两数均改写为0，证明：当
时，通过旋

转，总存在一个位置，任意重叠的扇形格中两数不同时为0。

参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。

（11）
（12） （13）
（14） （15）
（16）

（13）提示：如右图所示，设直线
与曲线
交于
两点，
的大小为
，

∴
的面积

扇形
的面积

∴阴影部分面积

∴

显然
，且
关于
递增，易得当
时，

，此时
；当
时，
，此时
；∴

三、解答题：本大题共6小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

（17）（本小题满分13分）

解：（Ⅰ）
…………4分

；…………6分

（Ⅱ）

…………3分

所以

，

由函数
的图象知，要有两个不同的实数解，需
，即
．……13分

（18）（本小题满分13分）

解：（Ⅰ）
； ……6分

（Ⅱ）由题知，
的取值为
，分布列如下：





















……………………11分

．……13分

13分

（20）（本小题满分12分）

解：（Ⅰ）

，……………………2分

显然当
时，
，
，当
时，
，

在
上单减，在
上单增；……6分

（Ⅱ）
，令
，

则
，
在
上单减，在
上单增，

而
，所以
与轴有两个不同的交点，不妨记为
，

若
在
处取得极小值，则
在包含的某个区间内恒正，即
或
，

所以
，即

．……12分

（21）（本小题满分12分）

解：（Ⅰ）由题知，
且
即
，椭圆
的方程为
；……4分

综上，无论怎样变化，
的面积为常数
．………………12分

（22）（本小题满分12分）

解：（Ⅰ）由于内盘中的任一数都会和外盘中的每个作积，故个不同位置的“旋转和”的和为

； ……3分

（Ⅱ）设内盘中的和外盘中的
同扇形格时的“旋转和”为

则

………………5分

所以当
时，
，当
时，
，所以
时，
最小

最小值

；…………8分

（Ⅲ）证明：将图中所有非
数改写为，现假设任意位置，总存在一个重叠的扇形格中两数同时为
，则此位置的“旋转和”必大于或等于
，初始位置外的
个位置的“旋转和”的和为

，则有
，即
，这与
矛盾，故命题得证．……12分