一、选择题：本大题10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的。

（1）已知为虚数单位，复数
的虚部是

（A）
（B）
（C）
（D）

（2）重庆市教委为配合教育部公布高考改革新方案，拟定在重庆中学进行调研，广泛征求高三年级学生的意见。重庆中学高三年级共有700名学生，其中理科生500人，文科生200人，现采用分层抽样的方法从中抽取14名学生参加调研，则抽取的理科生的人数为

（A）2 （B）4 （C）5 （D）10

（3）下列函数中，既是偶函数，又在区间
上是减函数的是

（A）
（B）
（C）
（D）

（4）设集合
，集合
，则

（A）
（B）
（C）
（D）

（5）若是的必要条件，是的充分条件，那么下列推理一定正确的是

（A）
（B）

（C）
（D）

（6）执行如题（6）图所示的程序框图，则输出的为

（A）20

（B）14

（C）10

（D）7

（7）某几何体的三视图如题（7）所示，其侧视图是一个边长为1的等边三角形，俯视图是两个正三角形拼成的菱形，则这个几何体的体积为

（A）1

（B）

（C）

（D）

（8）设
是椭圆
上两点，点关于轴的对称点为（异于点），若直线
分别交轴于点
，则

（A）0 （B）1 （C）
（D）2

（9）对任意实数
，定义运算
：
，设
，则
的值是

（A） （B）
（C） （D）不确定

（10）已知
中，
边的中点，过点的直线分别交直线
、
于点、，若
，
，其中
，则
的最小值是

（A）1 （B）
（C）
（D）

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。把答案填写在答题卡相对应位置上。

（11）已知
，且
，则
。

（12）若正项等比数列
满足：
，则公比
。

（13）已知函数
的导函数为
，若
，则
。

（14）若关于的不等式
的解集为
，则关于的不等式
的解集为 。

（15）已知平面区域
，直线
和曲线
有两个不同的交点，直线
与曲线
围成的平面区域为
，向区域内随机投一点，点落在区域
内的概率为
，若
，则实数的取值范围是 。

三、解答题：本大题共6小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或深处步骤。

（16）（本小题满分13分）

为了调查某厂2000名工人生产某种产品的能力，随机抽查了位工人某天生产该产品的数量，产品数量的分组区间为
，得到如题（16）图所示的频率分布直方图。已知生产的产品数量在
之间的工人有6位。

（I）求；

（II）工厂规定从生产低于20件产品的工人

中随机的选取2位工人进行培训，求这2位工人

不在同一组的概率。

（17）（本小题满分13分）

已知向量
，函数
的最小正周期为
。

（I）求的值；

（II）设
的三边、
、满足：
，且边
所对的角为，若关于的方程
有两个不同的实数解，求实数
的取值范围。

（18）（本小题满分13分）

设
为等差数列
的前项和，已知
。

（I）求
；

（II）设
，数列
的前项和记为
，求证：
。

（19）（本小题满分12分）

已知直四棱柱
的底面
为正方形，
，为棱
的中点。

（I）求证：
；

（II）设为
中点，
为棱
上一点，且
，

求证：
。

（20）（本小题满分12分）

已知函数
。

（I）若函数
在
内单调递增，求的取值范围；

（II）若函数
在
处取得极小值，求的取值范围。

（21）（本小题满分12分）

如题（21）图所示，离心率为
的椭圆
上的点到其左焦点的距离的最大值为3，过椭圆内一点的两条直线分别与椭圆交于点、
和、，且满足
，其中
为常数，过点作
的平行线交椭圆于
、
两点。

（I）求椭圆的方程；

（II）若点
，求直线
的方程，并证明

点平分线段
。

参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。

（11）
（12） （13）
（14）
（15）

（15）提示：如右图所示，设直线
与曲线
交于
两点，
的大小为
，

∴
的面积

扇形
的面积

∴阴影部分面积

∴

显然
，且
关于
递增，易得当
时，

，此时
；当
时，
，此时
；∴

三、解答题：本大题共6小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

（17）（本小题满分13分）

解：（Ⅰ）
…………4分

；…………6分

（Ⅱ）

…………3分

所以

，

由函数
的图象知，要有两个不同的实数解，需
，即
． ……13分

（18）（本小题满分13分）

解：（Ⅰ）设数列
的公差为
，由题得
…………3分

解得
，
………………………………………5分

∴
……………………………6分

（Ⅱ）由（Ⅰ）得，
…………………8分

∴
……………………………10分

∴

……………………12分

∴
………………13分

（19）（本小题满分12分）

解：（Ⅰ）连接
、
，题得由
，

，
………3分

∴
，即
同理，

∴
平面
…………………6分

（Ⅱ）过点
作
交
于点
，∵
，

∴
，∴
为等腰直角三角形，

，又
，∴
，

四边形
为平行四边形………………9分

∴
，又
平面
，∴
平面
……………12分

（20）（本小题满分12分）

解：（Ⅰ）
…………2分

∵
在
内单调递增，∴
在
内恒成立，

即
在
内恒成立，即
在
内恒成立…………4分

又函数
在
上单调递增，∴
…………………6分

（Ⅱ）考查
的单调性，令
，即

∴
或
，即
或
（）

∵
单调递增，设方程
的根为

①若
，则不等式组（）的解集为
和
，此时
在
和
上单调递增，在
上单调递减，与
在
处取极小值矛盾；

②若
，则不等式组（）的解集为
和
，此时
在上单调递增，与
在
处取极小值矛盾；

③若
，则不等式组（）的解集为
和
，此时
在
和
上单调递增，在
上单调递减，满足
在
处取极小值，

由
单调性，

综上所述，
………………………12分

（21）（本小题满分12分）

解：（Ⅰ）由题得
，
，联立
解得
，
，
，

∴椭圆方程为
…………………4分

（Ⅱ）方法一：设
，由
可得
.

∵点
在椭圆上，故

整理得：
……………6分

又点在椭圆上可知
，故有
……①

由
，同理可得：
……②

②-①得：
，即
…………………9分

又
∥
，故

∴直线
的方程为：
，即
.

由
可得：

∴是
的中点，即点平分线段
…………………12分

（Ⅱ）方法二：∵
，
，∴
，即

在梯形
中，设
中点为
，
中点为
，

过作
的平行线交
于点

∵
与
面积相等，∴

∴
，
，三点共线………………6分

设
，

∴
，
，

两式相减得
，

显然
，（否则
垂直于轴，因
不在轴上，此时
不可能垂直于轴保持与
平行）且
（否则
平行于轴或经过原点，此时
，
，三点不可能共线）

∴

设直线
斜率为
，直线
斜率为

∴
，即
…… ①