2013—2014学年度下学期高三第二次模拟考试试题

数学理科参考答案

一、选择题

1.B 2.D 3.B 4.C 5.B 6.D 7.B 8.A 9.A 10.B 11.B 12.D

二、填空题

13. 25 14.
或

15.
（
） 16.

三、解答题

17.解：（Ⅰ）根据正弦定理，由
，得
，又
，从而可得
，
，又
，于是
.

由于
，所以
； ……………… 6分

（Ⅱ）由已知得

因为
，所以
，于是，当
，即
时，
取最小值
；当
，即
时，
取最大值
.

因此函数
在区间
上的值域为
. ……………… 12分

18.（Ⅰ）证明：易知AP⊥BP，由AA1⊥平面PAB，得AA1⊥BP，且AP∩AA1=A，所以BP⊥平面PAA1，故BP⊥A1P．……………… 5分

（Ⅱ）如图建系（以PB为x轴，PA为y轴.过P点的母线所在直线为Z轴）

由
由
又

从而BP=2，
因此

由

平面
由
…… 10分

由题意知二面角
为锐二面角

因而所求二面角
的余弦值为
………………12分

(Ⅰ)由题意;
解得：
………… 2分

(Ⅱ)“其它渠道”中，男性抽取人数

女性抽取人数为6-4=2（人）

设“至少有一份是女性”为事件A 则

………………6分

(Ⅲ)由题可知：x可能取值为2,3,4,5,6

而

……………… 10分

因此分布列

X

2

3

4

5

6



P














……………… 12分

20.解:（Ⅰ）

在PF1的中垂线上,

解得

……………… 4分

(Ⅱ)由(1)可知

设
的方程为
（
），则P坐标（
）

所以
， 所以
方程为

由方程组
消去y,整理得
…8分

求解可得
,

所以
，

因为

，化简后

，

所以
，则三角形
为直角三角形，Q为斜边中点，

所以
……………… 12分

21. 解：（Ⅰ）由
定义域为，知
恒成立，于是
，

所以得
，所以实数的取值范围是
； ……………… 1分

当
时，
，函数定义域为，
，

于是
在上单调递增；

当
时，求导得
，因为
，所以
恒成立，函数定义域为，又
，知
在
上单调递增，在
上单调递减，在
上单调递增. ……………… 4分

（Ⅱ）当
时，
，又
在
单调递增，
于是
，即得
在
上成立. ……………… 6分

当
时，由（I）知
在
上递增，在
上递减.

当
时，由
，即得
在
上成立；……………… 8分

当
时，有
.

下面证明：
.

令
，
，则
，且
.记

，则
，于是
在

上单调递增.

又因为
，
，所以存在唯一的
使得
，从而
.于是
在
上单调递减，在
上单调递增，此时



.

从而
，即
.

亦即

.

因此不等式
在
上成立.

所以当
时，不等式
对于任意的
恒成立.

综上可得，当
时，对于任意的
不等式
恒成立.…12分

22. 解:（Ⅰ）连结OF．∵DF切⊙O于F，

∴∠OFD=90°．∴∠OFC+∠CFD=90°．

∵OC=OF，∴∠OCF=∠OFC．

∵CO⊥AB于O，∴∠OCF+∠CEO=90°．

∴∠CFD=∠CEO=∠DEF，∴DF=DE．

∵DF是⊙O的切线,∴DF2=DB·DA．

∴DE2=DB·DA ………… 5分

（Ⅱ）
，CO=
，

．

∵CE·EF= AE·EB= (
+4)(
-4)=32，

∴EF=4． ……………… 10分

23．解：（Ⅰ）
，所以C1的普通方程为

由
可得，
，即
… 5分

（Ⅱ）

　　得公共点为（１,１）、（４,-２）

所以公共点的极坐标为
……………… 10分

24. 解:（Ⅰ）令
，则

……………… 5分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知
的最小值为
，所以只需
，所以

……………… 10分