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本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，满分150分，时间120分钟

第Ⅰ卷

一、选择题：本大题10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是

符合题目要求的。

1．定义
，若
，

则
（ ）

A.
B.
C.
D.

2．复数
是虚数单位）为纯虚数，则实数的值为（ ）

A．
B．
C． D．

3．某车间共有6名工人，他们某日加工零件个数的茎叶图如上图所示，其中茎为十位数，叶为个位数,日加工零件个数大于样本均值的工人为优秀工人．从该车间6名工人中，任取2人，则恰有1名优秀工人的概率为( )

A.
B.
C.
D.

4．下列四个命题：

①利用计算机产生0～1之间的均匀随机数，则事件“
”发生的概率为
；

②“
”是“
或
”的充分不必要条件；

③命题“在
中，若
，则
为等腰三角形”的否命题为真命题；

④如果平面不垂直于平面
，那么平面内一定不存在直线垂直于平面
。

其中说法正确的个数是（ ）

A．0个 B．1个 C．2个 D．3个

5．设函数
，其中
，则
的展开式中
的系数为（ ）

A.
B.
C.
D.

6．正方形
的边长为2，点、分别在边
、
上，且
，
，将此正

方形沿
、
折起，使点、
重合于点，则三棱锥
的体积是（ ）

A．
B．
C．
D．

7．设函数
，其中
为已知实常数，
，则下列命题中错误的是( )

A．若
，则
对任意实数恒成立；

B．若
，则函数
为奇函数；

C．若
，则函数
为偶函数；

D．当
时，若
，则
．

8．已知函数
定义域为
，且函数
的图象关于直线对称，当
时，
，（其中
是
的导函数），若
，
，则
的大小关系是( )

A． B． C． D．

9．设是不等式组
表示的平面区域内的任意一点，向量
，
，若
（
为实数），则
的最大值为（ ）

A．4 B．3 C．-1 D．-2

10．对于各项均为整数的数列
，如果
为完全平方数，则称数列
具有“P性质”，如果数列
不具有“P性质”，只要存在与
不是同一数列的
，且
同时满足下面两个条件：①
是
的一个排列；②数列
具有“P性质”，则称数列
具有“变换P性质”，下面三个数列：

①数列1，2，3，4，5； ②数列1，2，3，…，11,12； ③数列
的前n项和为
.

其中具有“P性质”或“变换P性质”的有( )

A．③ B．①③ C．①② D．①②③

第Ⅱ卷

二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在答题卡的相应位置。

11．定义某种运算
，运算原理如下图所示，则式子
的值为

12．已知一个棱长为2的正方体，被一个平面截后所得几何体的三视图如上图所示，则该几何体的体积是

13．已知抛物线

两点，若
则

14．已知直线：
（
为给定的正常数，
为参数，
）构成的集合为S,给出下列命题：

①当
时，
中直线的斜率为
；

②
中的所有直线可覆盖整个坐标平面．

③当
时，存在某个定点，该定点到
中的所有直线的距离均相等；

④当＞
时，
中的两条平行直线间的距离的最小值为
；

其中正确的是 （写出所有正确命题的编号）．

15．选做题（请考生在下列两题中任选一题作答，若两题都做，则按所做的第一题计分）

（l）．（选修4-4坐标系与参数方程）在极坐标系中，过点
引圆
的两条切线
，切点分别为
，则线段
的长为 ．

（2）．（选修4-5不等式选讲）若关于的不等式
至少有一个正数解，则实数的取值范围是

三、解答题;本大题共6小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

16．（本小题满分12分）在
中，三个内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且
．

（Ⅰ）求角的大小；

（Ⅱ）求
的取值范围．

17．（本小题满分12分）为喜迎马年新春佳节，某商场在正月初六进行抽奖促销活动，当日在该

店消费满500元的顾客可参加抽奖．抽奖箱中有大小完全相同的4个小球，分别标有字

“马”“上”“有”“钱”．顾客从中任意取出1个球，记下上面的字后放回箱中，再从中任取1个球，重复以上操作，最多取4次，并规定若取出“钱”字球，则停止取球．获奖规则如下：依次取到标有“马”“上”“有”“钱”字的球为一等奖；不分顺序取到标有“马”“上”“有”“钱”字的球，为二等奖；取到的4个球中有标有“马”“上”“有”三个字的球为三等奖．

（Ⅰ）求分别获得一、二、三等奖的概率；

（Ⅱ）设摸球次数为
，求
的分布列和数学期望．

18．（本小题满分12分）如图，在直三棱柱
中，

，
。M、N分别是AC和BB1的中点。

（Ⅰ）求二面角
的大小。

（Ⅱ）证明：在AB上存在一个点Q，使得平面
⊥平面
，

并求出
的长度。

19．（本小题满分12分）已知函数
.

(Ⅰ) 当
时，求
的单调区间；

(Ⅱ) 当
时，若存在
， 使得
成立，求实数的取值范围.

20．（本小题满分13分）如图：
两点分别在射线
上移动，

且
,
为坐标原点，动点满足

(Ⅰ)求点的轨迹
的方程;

（Ⅱ）设
，过
作(Ⅰ)中曲线
的两条切线，切点分别

为
，①求证:直线
过定点;

②若
,求
的值。

21．（本小题满分14分）已知数列
满足：
且
.

(Ⅰ)求数列
的通项公式；

（Ⅱ）令
，数列
的前项和为
，求证:
时，
且

绝密★启用前

∴

．………9分

∵
，∴
，………10分

∴
，………11分

∴
的取值范围为
．………12分

17.解：（Ⅰ）设“摸到一等奖、二等奖、三等奖”分别为事件A，B，C．

则

（列式正确，计算错误，扣1分）………2分

, 则有
…………3分

…………5分

设二面角
为
，则

∴二面角
的大小为60°。…………6分

（Ⅱ）设
, ∵

∴
，设平面
的法向量为

∴
, ∴

当
时，
，令
，得
或
；令
，得
；

………5分

综上所述：

分

又
，所以
，又因为
，得
，

所以
所以
………12分

20．解：（Ⅰ）由已知得，
，即

设坐标为
，由
得：

∴
，消去
可得，

∴轨迹
的方程为：
…………4分

（Ⅱ）①由（Ⅰ）知，
即

设
，则
，

∴
，即
，

∵
在直线
上，∴
………⑴同理可得，
………⑵

由⑴⑵可知，
∴直线
过定点
…………9分

②由①可知，设直线
的方程为
，易知
且
，将直线
的方程代入曲线C的方程得：

∴

又

即
∴
…………13分

21解: （Ⅰ）易知:
,

令
得,

若
,则

当
时,
也满足上式,故

所以
…………6分

（Ⅱ）易知：

…………8分

先证不等式
时,

令
,则

∴
在
上单调递减,即

同理:令
,则

∴
在
上单调递增,即
,得证.

取
,得
,所以

…………14分