一 、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题所给的四个选项中，只有一项符合题目要求的.

1．若集合
，集合
，则集合的元素的个数为 （ ）

A . 1 B . 2 C . 3 D . 4

2．设
为虚数单位，则
=（ ）

A. B.
C.
D.

3．一个几何体的正视图和侧视图都是边长为1的正方形，则这个几何体的俯视图一定不是（ ）

4．已知数列
是等比数列，且
，则
的值

为（ ）

A .
B .
C . D .

5．从编号为001,002,……,500的500个产品中用系统抽样的方法抽取一个样本，已知样本中编号最小的两个编号分别为007,032，则样本中最大的编号应该为（ ）

A. 480 B. 481 C. 482 D. 483

6．如图，矩形ABCD中，E为边AD上的动点，将△ABE沿直线BE翻转成△A1BE，使平面A1BE平面ABCD，则点A1的轨迹是（ ）

A．线段 B．圆弧

C．椭圆的一部分 D．以上答案都不是

7．AD, BE分别是(ABC的中线，若||=||=1，且与的夹角为120°，则·=（ ）

A． B． C． D．

8．已知双曲线
的左右焦点分别为
，为双曲线的离心率，是双曲线右支上的点，
的内切圆的圆心为，过
作直线
的垂线，垂足为，则线段
的长度为（ ）

A．
B. C．
D．

9．函数
，直线
与函数
的图像相交于四个不同的点，从小到大，交点横坐标依次记为
，下列说法错误的是（ ）

A．

B．

C．

D．若关于的方程
恰有三个不同实根，则取值唯一

10．右图是某果园的平面图，实线部分
游客观赏道路，其中曲线部分
是以
为直径的半圆上的一段弧，点
为圆心，
是以
为斜边的等腰直角三角形，其中
千米，
(
),若游客在路线
上观赏所获得的“满意度”是路线长度的2倍，在路线EF上观赏所获得的“满意度”是路线的长度，假定该果园的“社会满意度”是游客在所有路线上观赏所获得的“满意度”之和，则下面图象中能较准确的反映与的函数关系的是（ ）

二、选做题：请在下列两题中任选一题作答，若两题都做，则按第一题评阅计分，本题共5分.

11．（1）（坐标系与参数方程选做题）在直角坐标系
中,以原点
为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系.若极坐标方程为
的直线与曲线
（为参数）相交于
两点,则
=（ ）

A.
B.
C.
D.

11．（2）（不等式选做题）若不等式
恒成立，则实数
的取值范围为（ ）

A .
B .
C .
D .

三、填空题： (本大题共4小题，每小题5分，合计20分. ）

12．设随机变量
服从正态分布
，若
,则
__________.

13．设实数
满足不等式组
,则
的取值范围是__________.

14. △ABC中，sinB既是sinA，smC的等差中项，又是sinA，sinC的等比中项，则∠B=_________

15.

四、解答题：本大题共6小题，共75分.解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤.

16．（本小题满分12分）设a∈R，函数f（x）＝cos（asinx－cosx）＋
满足

（1）求f（x）的单调递减区间；

（2）设锐角△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且
，求f（A）的取值范围．

17．（本小题满分12分）已知A箱装有编号为
的五个小球（小球除编号不同之外，其他完全相同），B箱装有编号为
的两个小球（小球除编号不同之外，其他完全相同）,甲从A箱中任取一个小球，乙从B箱中任取一个小球，用
分别表示甲，乙两人取得的小球上的数字.

（1）求概率
； （2）设随机变量
，求
的分布列及数学期望.

18．（本小题满分12分）已知数列
中，
，当
时，
.

(1) 求数列
的通项公式.

(2) 设
,数列
前项的和为
,求证:
.

19．（本小题满分12分）如图1，直角梯形
中，
，
分别为边
和
上的点，且
，
．将四边形
沿
折起成如图2的位置，使
．

（1）求证：

平面
；

（2）求平面
与平面
所成锐角的余弦值.

21．（本题满分14分）已知
（
）

（Ⅰ）若方程
有3个不同的根，求实数的取值范围；

（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，是否存在实数，使得
在
上恰有两个极值点
，且满足
，若存在，求实数的值，若不存在，说明理由．

答案

一、选择题：

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11



答案

A

C

B

A

C

D

C

B

D

A

D



三、填空题：

11．
12．
13．
14．

四、解答题：

（2）如图以
中点为原点，
为轴建立如图所示的空间直角坐标系，则
，
，
，

所以
的中点坐标为
因为
，所以

易知
是平面
的一个法向量，

设平面
的一个法向量为

由

令
则
，
，

20. 解：（1）设点
，由题知|AB|-|AC|=|BE|-|CE|=|CE|+2|OE|-|CE|=2

根据双曲线定义知，点A的轨迹是以B、C为焦点，实轴长为2的双曲线的右支除去点E（1，0），故R的方程为
…………………… 4分

（2）设点
由（I）可知

……………………6分

①当直线
轴时

点
在轴上任何一点处都能使得
成立

②当直线MN不与轴垂直时，设直线

由
得

…………………… 9分

要使
，只需
成立……………………10分

即
即

即
故
,故所求的点Q的坐标为
时

使
成立.……………………13分

21．（Ⅰ）解：由
得：
或

可得
或
且

∵方程
有3个不同的根，

∴方程
有两个不同的根

∴

又∵
，且要保证能取到0∴
即

∴
．

（Ⅱ）解：∵

令
，设

∴

∵
∴
∴

∵
∴
，
∴

∴存在
，使得
，另外有
，使得

假设存在实数，使得
在
上恰有两个极值点
，且满足

则存在
，使得
，另外有
，即

∴
，∴
，即

即
（*）

设

∴

∵
∴

∴
∴
在
上是增函数

∴

∴方程（*）无解，

即不存在实数，使得
在
上恰有两个极值点
，且满足