一．选择题

1.已知z＝1－i(i是虚数单位)，则＋z2＝(　　)

A．2　　 　　B．2i　　　 　C．2＋4i　 　D．2－4i

2.设U＝R，M＝{x|x2－x≤0}，函数f(x)＝的定义域为D，则M∩(CUD)＝ (　　)．

A．[0,1)　 B．(0,1)　　 C．[0,1]　 D．{1}

3.设<θ<3π，且|cosθ|＝，那么sin的值为(　　)

A. B．－ C．－ D.

4.已知f(x)＝则函数g(x)＝f(x)－ex的零点个数为 (　　)．

A．1　B．2　 C．3　 D．4

5. 执行如图所示的程序框图，输出的值为( )

A．
B．
C．
D．

6.已知2log6x＝1－log63，则x的值是(　　)

A. B. C.或－ D.或

7. 一空间几何体的三视图如图所示，该几何体的体积为12π＋，则正视图与侧视图中x的值为(　　)

A．5　　　　B．4　　　　C．3　　　　D．2

8. 已知f(x)＝32x－(k＋1)3x＋2，当x∈R时，f(x)恒为正值，则k的取值范围是(　　)

A．(－∞，－1) B．(－∞，2－1) C．(－1,2－1) D．(－2－1,2－1) 　

9. 如图，设点A是单位圆上的一定点，动点P从A出发在圆上按逆时针方向转一周，点P所旋转过的弧
的长为l，弦AP的长为d，则函数d=f（l）的图象大致为（　　）

10．如图，F1，F2是双曲线C：
的左、

右焦点，过F2的直线与双曲线C交于A，B两点．若

为等边三角形，则双曲线的离心率为 ( )

A．
B．
C ．
D．

二：填空题

11. 如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠BAD＝60°，E为CD的中点，则
＝________.

12．设等比数列
的前和为
，已知
的值是 ．

13. 已知不等式组表示的平面区域S的面积为4，点P(x，y)∈S，则z＝2x＋y的最大值为________．

14. 已知曲线
恰有三个点到直线
距离为1，则
．

15. 已知球的半径为5，球面被互相垂直的两个平面所截，得到的两个圆的公共弦长为2，若其中一个圆的半径为4，则另一个圆的半径为 _________

三.解答题

16. （12分）已知函数
．]

（1）求函数
的最小值和最小正周期；

（2）设
的内角、、的对边分别为，，，且
，
，若

，求，
的值．

17．（12分）某日用品按行业质量标准分成五个等级，等级系数x依次为1,2,3,4,5.现从一批该日用品中随机抽取20件，对其等级系数进行统计分析，得到频率分布表如下：

x

1

2

3

4

5



f

a

0.2

0.45

b

c



(1)若所抽取的20件日用品中，等级系数为4的恰有3件，等级系数为5的恰有2件，求a，b，c的值；

(2)在(1)的条件下，将等级系数为4的3件日用品记为x1，x2，x3，等级系数为5的2件日用品记为y1，y2.现从x1，x2，x3，y1，y2这5件日用品中任取两件(假定每件日用品被取出的可能性相同)，写出所有可能的结果，并求这两件日用品的等级系数恰好相等的概率．

18．（12分）设等差数列{an}的前n项和为Sn，a4＝S2， a2n +2=2 an，

(1)求数列{an}的通项公式；(2)若 bn
,求数列{bn}的前n项和Tn，并求Tn的取值范围.

19. （12分）如图，三棱柱ABC－A1B1C1的侧棱AA1⊥底面ABC，∠ACB＝90°，E是棱CC1的中点，F是AB的中点，AC＝BC＝1，AA1＝2.

(1)求证：CF∥平面AB1E； (2)求三棱锥C－AB1E在底面AB1E上的高．

20.(13分) 双曲线－＝1(a>0，b>0)的离心率为2，坐标原点到直线AB的距离为，其中A(0，－b)，B(a,0)．

(1)求双曲线的标准方程；

(2)设F是双曲线的右焦点，直线l过点F且与双曲线的右支交于不同的两点P、Q，点M为线段PQ的中点．若点M在直线x＝－2上的射影为N，满足
＝0，且
|＝10，求直线l的方程．

21.（14分）

已知函数
.

(1) 当a=1时，求函数
在（
处的切线方程；

（2）若函数
有三个极值点，求实数a的取值范围。

（3）定义：如果曲线C上存在不同的两点
，
，过AB的中点且垂直于x轴的直线交曲线C于点M，若直线AB与曲线C在点M处的切线平行，则称曲线C有“平衡切线”，试判断
的图象是否有“平衡切线”，并说明理由.

答案

一．选择题

1.已知z＝1－i(i是虚数单位)，则＋z2＝(　　)

A．2　　 　　B．2i　　　 　C．2＋4i　 　D．2－4i [答案]　A

2.设U＝R，M＝{x|x2－x≤0}，函数f(x)＝的定义域为D，则M∩(?UD)＝ (　　)．

A．[0,1)　 B．(0,1)　　 C．[0,1]　 D．{1} 答案　C

3.设<θ<3π，且|cosθ|＝，那么sin的值为(　　)

A. B．－ C．－ D. [答案]　C

4.已知f(x)＝则函数g(x)＝f(x)－ex的零点个数为 (　　)．

A．1　B．2　 C．3　 D．4 选B.

5. 执行如图所示的程序框图，输出的值为( )

A．
B．
C．
D．

【答案】C

6. 已知2log6x＝1－log63，则x的值是(　　)

A. B. C.或－ D.或 【答案】　B

7. 一空间几何体的三视图如图所示，该几何体的体积为12π＋，则正视图与侧视图中x的值为(　　)

A．5　　　　B．4　　　　C．3　　　　D．2 [答案]　C

8. 已知f(x)＝32x－(k＋1)3x＋2，当x∈R时，f(x)恒为正值，则k的取值范围是(　　)

A．(－∞，－1) B．(－∞，2－1) C．(－1,2－1) D．(－2－1,2－1) B　

9. 如图，设点A是单位圆上的一定点，动点P从A出发在圆上按逆时针方向转一周，点P所旋转过的弧 的长为l，弦AP的长为d，则函数d=f（l）的图象大致为（　　）

10．如图，F1，F2是双曲线C：
的左、

右焦点，过F2的直线与双曲线C交于A，B两点．若

为等边三角形，则双曲线的离心率为 ( ) B

A．
B．
C ．
D．

二：填空题

11. 如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠BAD＝60°，E为CD的中点，则
＝________.[答案]　1

12．设等比数列
的前和为
，已知
的值是 ．[答案] 0

13. 已知不等式组表示的平面区域S的面积为4，点P(x，y)∈S，则z＝2x＋y的最大值为________．[答案]　6

14. 已知曲线
恰有三个点到直线
距离为1，则
．[答案]9

15. 已知球的半径为5，球面被互相垂直的两个平面所截，得到的两个圆的公共弦长为2，若其中一个圆的半径为4，则另一个圆的半径为 _________[答案]2

三：解答题

16.已知函数
．]

（1）求函数
的最小值和最小正周期；

（2）设
的内角、、的对边分别为，，，且
，
，若

，求，
的值．

解：（1）
，…………3分

则
的最小值是－2， …………5分

最小正周期是
； …………7分

（2）
，则
，

，

，
， …………10分

，由正弦定理，得
，① …………11分

由余弦定理，得
，即
， ②

由①②解得
． …………14分

17．某日用品按行业质量标准分成五个等级，等级系数x依次为1,2,3,4,5.现从一批该日用品中随机抽取20件，对其等级系数进行统计分析，得到频率分布表如下：

x

1

2

3

4

5



f

a

0.2

0.45

b

c



(1)若所抽取的20件日用品中，等级系数为4的恰有3件，等级系数为5的恰有2件，求a，b，c的值；

(2)在(1)的条件下，将等级系数为4的3件日用品记为x1，x2，x3，等级系数为5的2件日用品记为y1，y2.现从x1，x2，x3，y1，y2这5件日用品中任取两件(假定每件日用品被取出的可能性相同)，写出所有可能的结果，并求这两件日用品的等级系数恰好相等的概率．

解　(1)由频率分布表得a＋0.2＋0.45＋b＋c＝1，即a＋b＋c＝0.35.因为抽取的20件日用品中，等级系数为4的恰有3件，所以b＝＝0.15.等级系数为5的恰有2件，所以c＝＝0.1.从而a＝0.35－b－c＝0.1.

所以a＝0.1，b＝0.15，c＝0.1.

(2)从日用品x1，x2，x3，y1，y2中任取两件，所有可能的结果为：(x1，x2)，(x1，x3)，(x1，y1)，(x1，y2)，(x2，x3)，(x2，y1)，(x2，y2)，(x3，y1)，(x3，y2)，(y1，y2)．

设事件A表示“从日用品x1，x2，x3，y1，y2中任取两件，其等级系数相等”，则A包含的基本事件为：(x1，x2)，(x1，x3)，(x2，x3)，(y1，y2)，共4个．

又基本事件的总数为10，故所求的概率P(A)＝＝0.4.

18．设等差数列{an}的前n项和为Sn，a4＝S2， a2n +2=2 an，

(1)求数列{an}的通项公式；(2)若 bn
,求数列{bn}的前n项和Tn

19.如图，三棱柱ABC－A1B1C1的侧棱AA1⊥底面ABC，∠ACB＝90°，E是棱CC1的中点，F是AB的中点，AC＝BC＝1，AA1＝2.

(1)求证：CF∥平面AB1E； (2)求三棱锥C－AB1E在底面AB1E上的高．

解析：　(1)证明：取AB1的中点G，连接EG，FG，

∵F、G分别是AB、AB1的中点，∴FG∥BB1，FG＝BB1.

∵E为侧棱CC1的中点，∴FG∥EC，FG＝EC，∴四边形FGEC是平行四边形，

∴CF∥EG，∵CF?平面AB1E，EG?平面AB1E，∴CF∥平面AB1E.

(2)∵三棱柱ABC－A1B1C1的侧棱AA1⊥底面ABC，∴BB1⊥平面ABC.

又AC?平面ABC，∴AC⊥BB1，∵∠ACB＝90°，∴AC⊥BC，

∵BB1∩BC＝B，∴AC⊥平面EB1C，∴AC⊥CB1，∴VA－EB1C＝S△EB1C·AC

＝××1＝.∵AE＝EB1＝，AB1＝，∴S△AB1E＝，

∵VC－AB1E＝VA－EB1C，∴三棱锥C－AB1E在底面AB1E上的高为＝.

20.(13分) 双曲线－＝1(a>0，b>0)的离心率为2，坐标原点到直线AB的距离为，其中A(0，－b)，B(a,0)．

(1)求双曲线的标准方程；

(2)设F是双曲线的右焦点，直线l过点F且与双曲线的右支交于不同的两点P、Q，点M为线段PQ的中点．若点M在直线x＝－2上的射影为N，满足·＝0，且||＝10，求直线l的方程．

解：　(1)依题意有解得a＝1，b＝，c＝2.

所以，所求双曲线的方程为x2－＝1.

以k2>3.②

因为·＝0，则PN⊥QN，又M为PQ的中点，||＝10，所以|PM|＝|MN|＝|MQ|＝|PQ|＝5. 又|MN|＝x0＋2＝5，∴x0＝3， 而x0＝＝＝3，∴k2＝9，解得k＝±3.

∵k＝±3满足②式，∴k＝±3符合题意． 所以直线l的方程为y＝±3(x－2)．

即3x－y－6＝0或3x＋y－6＝0.

21.（本大题满分14分）

已知函数
.

(1) 当a=1时，求函数
在（
处的切线方程；

（2）若函数
有三个极值点，求实数a的取值范围。

（3）定义：如果曲线C上存在不同的两点
，
，过AB的中点且垂直于x轴的直线交曲线C于点M，若直线AB与曲线C在点M处的切线平行，则称曲线C有“平衡切线”，试判断
的图象是否有“平衡切线”，并说明理由.

21、