第Ⅰ卷（选择题 共50分）

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．设
,则“
”是“复数
为纯虚数”的（ ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

2．已知集合
，
，则
为（ ）

A．
B．
C．
D．

3．已知函数
，则
的值为（ ）

A．
B．
C．
D．

4．已知
的三边长成公差为的等差数列，且最大角的正弦值为
，则这个三角形的周长是（ ）

A．
B．
C．
D．

5．已知函数
满足：
，则
的值为（ ）

A．
B．
C．
D．

6．已知
，
，则
的值为（ ）

A．
B．
C．
D．

7．一个六面体的三视图如图所示，其左视图是边长为2的正方形，则该六面体的表面积是（ ）

A．

B．

C．

D．

8.一个算法的程序框图如下图所示，若该程序输出的结果为
，则判断框中应填入的条件是（ ）

A.
B.
C.
D.

9．已知双曲线
右支上的一点
到左焦点的距离与到右焦点的距离之差为
，且到两条渐进线的距离之积为
，则该双曲线的离心率为（ ）

A．
B．
C．
D．

10．已知
，符号
表示不超过的最大整数，若函数
有且仅有3个零点，则的取值范围是（ ）

A．
B．
C．
D．

第Ⅱ卷（非选择题 共100分）

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.

11. 已知函数
有零点，则的取值范围是 .

12. 现有一根n节的竹竿,自上而下每节的长度依次构成等差数列,最上面一节长为10cm,最下面的三节长度之和为114cm,第6节的长度是首节与末节长度的等比中项,则n=_____.

13. 已知一个半径为1m的半圆形工件,未搬动前如图所示(直径平行于地面放置),搬动时为了保护圆弧部分不受损伤,先将半圆作如图所示的无滑动翻转,使它的直径紧贴地面,再将它沿地面平移40m,则圆心O所经过的路线长是_______m.

14. 已知圆C:
,直线l:
则圆C上任一点到直线l的距离小于2的概率为_____________.

15. 点M、N分别是正方体ABCD—A1B1C1D1的棱A1B1、A1D1的中点,用过A、M、N和

D、N、C1的两个截面截去正方体的两个角后得到的几何体如下图,则该几何体的正(主)视图、侧(左)视图、俯视图依次为

三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

16.（本小题满分12分）

在
中，角
所对的边分别为
，函数
在
处取得最大值.

（I）当
时，求函数
的值域；

（II）若
且
，求
的面积.

（本小题满分12分）

已知等差数列
中，
，前项和为
且满足条件：

（I）求数列
的通项公式；

（II）若数列
的前项和为
有
，
，又
，求数列
的前项和
.

18.（本小题满分12分）

某少儿电视节目组邀请了三组明星家庭（明星爸爸及其孩子）一起参加50米趣味赛跑活动.已知这三组家庭的各方面情况几乎相同，要求从比赛开始明星爸爸必须为自己的孩子领跑，直至其完成比赛.记这三位爸爸分别为A、B、C，其孩子相应记为D、E、F.

（I）若A、B、D、E为前四名 , 求第三名为孩子E的概率；

（II）若孩子F的成绩是第6名，求孩子E的成绩为第三名的概率

19．（本小题满分12分）

如图，已知
中，
，
，
，
，
交
于，
为
上点，且
，将
沿
折起，使平面
平面

（Ⅰ）求证：
∥平面
；

（Ⅱ）求三棱锥
的体积

20．（本小题满分13分）

已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，其离心率
，短轴长为4．

（I）求椭圆的标准方程；

（II）已知点
,直线
和椭圆C相交于A、B两点，是否存在实数m，使△ABQ的面积S最大？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由．

21.(本小题满分14分)

已知
，
，且直线
与曲线
相切．

（I）求b的值；

（II）若对
内的一切实数，不等式
恒成立，求实数的取值范围．

答案

D

解析：本题考查归纳推理论证能力.

从给出的式子特点观察可推知，等式右端的值从第二次开始后一个式子的右端值等于前一个式子的值与自变量的值加1的和，即

A

解析：本题考查二倍角公式，两角和的正切公式及三角恒等变换.

由原式

.

.

C

解析：本题考查三视图还原成空间几何体及几何体的表面积公式.

由图可知，该几何体的底面为直角梯形的四棱柱，直角梯形的上下底分别为1、2，高为2，棱柱的高为2，表面积为
.

8.D

9.D

解析：本题考查双曲线的定义与几何性质，点到直线的距离公式.

由双曲线的定义知
，渐近线方程为
，则

.

10.B

解析：本题考查创新定义，函数的零点及其应用.

由函数零点的定义可知
，分
和
讨论，
有且仅有3个零点只能使
和
，则选B.

11.

解析：
，有
，得
。当
时，
，当
时，
，所以当
时，函数取得极小值，所以要使函数有零点，则有
，即
，即
，所以的取值范围是
。

12.16

解析：设对应的数列为
,公差为
.由题意知
,
,
.由
得
,解得
,即
,即
,解得
,所以
,即
,解得
.

13.

解析：开始到直立圆心O的高度不变,所走路程为
圆弧,从直立到扣下正好是一个旋转的过程,所以从开始到直立可以设想为一个球的球心在转动过程中是平直前进的, O走的是线段,线段长为
圆弧,从直立到扣下,球心走的是
即球在无滑动旋转中通过的路程为
圆弧,为π;再将它沿地面平移40米,则圆心O所经过的路线长是:(π+40)米.

14.

解析：圆的半径为
,圆心到直线的距离
,要使圆C上任一点到直线l的距离小于2,则此时圆心到直线
的距离为3.此时圆上的点位于弧BC上.因为
,
,所以
,所以
.所以弧BC的长度为
,所以由几何概型得所求概率为
.

15.②、③、④

解析：根据三视图的概念可知

16.解析：

(1)

(2) 由正弦定理
得，

由余弦定理
得：

解析：

∴

所以

(2)由

所以
，
，

所以
是等比数列且
，

∴

∴

∴

∴

利用错位相减法，可以求得
。

解析：

(1)可列举
共有6种情况

其中，E的成绩为第3位的有2种，

(2)因为孩子F必须是最后一个跑到终点线，所以相对（1）的问题来讲，就是爸爸C的成绩还可以是其他其他名次，可由（1）的每一种情况进行分类拓展列举，

由
可再列出：
，

由
可再列出：
，

由
可再列出：
，

由
可再列出：
，

由
可再列出：
，

由
可再列出：
，

共30种，

其中孩子E为第3名的共有6种，

故此时第三名为孩子E的概率
.

解析：

（Ⅰ）如图：过
作
交
的延长线于
，在
上取点
使
连接
由于

在平面
中，由
，
得

即
又
得
，

又
，

平面
平面

AM∥平面



（Ⅱ）由AM∥平面SCD知
到平面SCD的距离等于到平面SCD的距离，

转化

20.

解析:（1）由题意可设椭圆C的方程为
，

又
，
，
，解得
.

故椭圆C的方程为
.

（2）设直线

和椭圆C相交于
、
两点.

联立方程得，
消去得，
.

上式有两个不同的实数根，

.

且
，
.

所以


.

点Q
到
的距离为
.

所以
的面积

.

当且仅当
，即
时，，
取得最大值，最大值为3.

21解析:

（1）设点
为直线
与曲线
的切点，

则有
． （*）

，
． （**）

由（*）（**）两式，解得
，
．

（2）由
整理，得
，

，要使不等式
恒成立，必须
恒成立．

设
，
，

，当
时，
，则
是增函数，

，
是增函数，
，
．