一、选择题（本大题10个小题，每题5分，共50分,请将答案涂在答题卷上)

1．已知集合
，
，则
（ ）

A．[1,2) B．
C．[0,1] D．

2．复数
的共扼复数
表示的点在（ ）

A．第一象限　　 B．第二象限

C．第三象限　 D．第四象限

3．阅读程序框图，若输入m=4，n=6，，则输出a，i分别是（ ）

A．
B．

C．
D．

4．若
，则
的展开式中常数项为（　　）

A．
B．
C．
D．

5．右图是函数y＝Asin(ωx＋φ)(
，
)图像的一部分．为了得到这个函数的图像，只要将y＝sin x(x∈R)的图像上所有的点（　　）

A．向左平移
个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的
，纵坐标不变.

B．向左平移
个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变.

C．向左平移
个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的
，纵坐标不变.

D．向左平移
个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变.

6．如图，已知圆
，四边形
为圆
的内接正方形，
分别为边
的中点，当正方形ABCD绕圆心M转动时，
的取值范围是 （ ）

A．
B．

C．
D．

7．设等差数列
的前项和为
，已知
，
，则下列结论正确的是（　　）

A．
B．

C．
D．

8．中心在原点，焦点在x轴上的双曲线C的离心率为2，直线与双曲线C交于A，B两点，线段AB中点M在第一象限，并且在抛物线
上，且M到抛物线焦点的距离为p，则直线的斜率为（ ）

A． B． C．
D．

9．若实数a，b，c，d满足
，则
的最小值为（　　）

A．
B．8 C．
D．2

10．如图所示，一种医用输液瓶可以视为两个圆柱的组合体.开始输液时，滴管内匀速滴下液体（滴管内液体忽略不计），设输液开始后分钟，瓶内液面与进气管的距离为厘米，已知当
时，
.如果瓶内的药液恰好156分钟滴完.则函数
的图像为（ ）

二、选做题：（请在下列两题中任选一题作答，若两题都做，则按第一题评分，本题共5分。）

11．（1）已知曲线C的参数方程为
（t为参数），C在点
处的切线为l，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则l的极坐标方程为（ ）

（2）若关于x的不等式
在R上的解集为，则实数的取值范围是（ ）

三、填空题（本大题4个小题，每题5分，共20分，请把答案填在答题卡上）

12．已知
，
，若向区域上随机投掷一点，则点落入区域的概率为________________．

13．一个空间几何体的三视图如图所示，其正视图、侧视图、俯视图均为等腰直角三角形，且直角边长都为1，则这个几何体的体积是_____________________.

14．定义：对于区间
,则
为区间长度.若关于的不等式
的解集是一些区间的并集，且这些区间长度的和不小于4，则实数的取值范围是________________.

15．给出以下四个命题，其中所有正确命题的序号为：________________．

（1）“
”是“
”的充要条件；

（2）已知线性回归方程
，当变量增加2个单位，其预报值
平均增加4个单位；

（3）函数
在区间
上只有1个零点；

（4）命题“若
，则
”的逆否命题为“若
，则
”；

（5）设随机变量ξ服从正态分布N(2,9)，若P(ξ＞c＋1)＝P(ξ＜c－1)，则c等于3；

四、解答题（本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

16．（本题满分12分）

已知函数

（1）当
时，求函数
的最小值和最大值；

（2）设
的内角
的对应边分别为
，且
，若向量
与向量
共线，求
的值。

17．（本题满分12分）

某校政教处为检查各班落实学校“学生素养五十条”的规定情况，从各班抽取了一批学生进行测试，全部学生参加了“理论部分”和“模拟现场”两项测试，成绩均分为A，B，C，D，E五个等级. 某考场考生两项测试成绩的数据统计如下图所示，其中“理论部分”科目测试成绩为B的考生有10人.

（1）求该考场考生中“模拟现场”科目中成绩为A的人数；

（2）若等级A，B，C，D，E分别对应5分，4分，3分，2分，1分.

（i）求该考场考生 “理论部分”科目的平均分；

（ii）若该考场共有10人得分大于7分，其中有2人10分，2人9分，6人8分. 从这10人中随机抽取两人，求两人成绩之和的分布列和数学期望.

18．（本题满分12分）

如图，四边形
中（图1），是
的中点，
，

，
将（图1）沿直线
折起，使二面角
为
（如图2）

（1）求证：
平面
；

（2）求直线AE与平面ADC所成角的正弦值。

19．（本题满分12分）

已知数列
为等比数列，其前项和为
，已知
，且对于任意的
有
，
，
成等差数列；

（1）求数列
的通项公式；

（2）已知
（
），记
，若
对于
恒成立，求实数的范围。

20．（本题满分13分）

如图，已知圆
，经过椭圆
的右焦点及上顶点，过圆外一点
倾斜角为
的直线交椭圆于
两点，

（1）求椭圆的方程；

（2）若右焦点在以线段
为直径的圆的外部，求m的取值范围．

21．（本题满分14分）

设
，函数
．

（1）当
时，求
在
内的极大值；

（2）设函数
，当
有两个极值点
时，总有
，求实数的值.（其中
是
的导函数）

答案

一、选择题（5′×10=50′）

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10



答案

D

C

A

C

A

B

A

C

B

A



6．解：

当
同向时，
；

当
反同向时，
，

∴
的取值范围是

7．解：构造函数

∴
在R上是增函数

又
，∴

又∵
，

∴
，∴

9．.解：∵
，

∴
，

将
看成
，即曲线

看成直线
，

的最小值即曲线
到直线
的最近距离

做与直线
平行且与曲线相切的直线

∴
，解得
，∴切点P纵坐标

∴切点到直线距离即最近距离

∴切点到直线距离即最近距离
，∴

解二：∵
，

∴
，

令

∴
在
递减，
递增，∴
，

二、选做题：（5分）

11（1）B (2) C

三、填空题（5′×4=20′）

12．
13.
14．
或
15.（2）、（3）

四、解答题（本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

16、（本小题满分12分）

解：(1)

。……………3分

∵
，∴
，

∴
，从而
。

则
的最小值是
，最大值是
。……………6分

（2）
，则
，

∵
，∴
，∴
，解得
……………9分

∵向量
与向量
共线，∴
，

由正弦定理得，
　　 ①

由余弦定理得，
，即
　　②

由①②解得
。……………12分

17、(本小题满分12分)

解：（1）因为“理论部分”科目中成绩等级为B的考生有10人，

所以该考场有
人，所以该考场考生中“模拟现场”科目中成绩等级为A的人数为
……………4分

(2)（i） 求该考场考生“理论部分”科目的平均分为

……………6分

（ii）设两人成绩之和为
，则
的值可以为16，17，18，19，20

，
，
，

所以
的分布列为

16

17

18

19

20

















所以

所以
的数学期望为
……………12分

18、(本小题满分12分)

证明：如图4，取BD中点M，连接AM，ME.

因为AB=AD=
，所以AM⊥BD，

因为DB=2，DC=1，BC=
，满足：DB2+DC2=BC2，

所以△BCD是以BC为斜边的直角三角形，BD⊥DC，

因为E是BC的中点，所以ME为△BCD的中位线，

∴

ME⊥BD，ME=
，………………………………（ 2分）

∠AME是二面角A-BD-C的平面角，
=
°.

，
且AM、ME是平面AME内两条相交于点M的直线，

，
平面AEM，
.…………………（4分）

，
，

为等腰直角三角形，
，

在△AME中，由余弦定理得：
，

，

.………………………………………（6分）

（Ⅱ）如图5，以M为原点，MB所在直线为x轴，ME所在直线为y轴，平行于EA的直线为z轴，建立空间直角坐标系，…………………（7分）

则由（Ⅰ）及已知条件可知B(1，0，0)，
，

，D
，C
.

则

……（8分）

设平面ACD的法向量为
=
，

则
令