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本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，满分150分，时间120分钟

第Ⅰ卷

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知是虚数单位，则复数
的模为 （ ）

． ．

． ．

2．已知条件：
，条件：
，则
是的 （ ）

．充分不必要条件 ．必要不充分条件

．充要条件 ．既非充分也非必要条件

3．若平面内两个向量
与
共线，则
等于 （ ）

　．
　　　　　 ．　　　　　
．
　　　　 　．

4．某一容器的三视图如右图所示，现向容器中

匀速注水，容器中水面的高度
随时间变

化的可能图象是 （ ）

5．阅读如下程序框图，若输出
，则空白的判断框中应填入的条件是 （ ）

.
．

．
.

6．在长为
的线段
上任取一点，并且以线段
为边作正三角形，则这个正三角形

的面积介于
与
之间的概率为 （ ）

．
．

．
．

7．某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表：

广告费用x（万元）

4

2

3

5



销售额y（万元）

49

26

39

58



根据上表可得回归方程
中的
，据此模型预报广告费用为
万元时销售额为（ ）．

．
万元 ．
万元
．
万元 ．
万元

8．
表示不超过的最大整数，例如：
．

依此规律，那么
（ ）

．
．
　　　
．
．

9．设
是平面直角坐标系中不同的四点，若

且

，则称
是关于
的“好点对”．已知
是关于
的“好点对”, 则下面说法正确的是 （ ）

.
可能是线段
的中点 .
可能同时在线段
延长线上

．
可能同时在线段
上 ．
不可能同时在线段
的延长线上

10．已知、
、
是单位圆上互不相同的三个点,且满足
，则

的最小值是 （ ）

．
．

．
．

第Ⅱ卷

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。

11．已知集合
则
．

12．曲线
在点
处的切线斜率为 ．

13．若
三个内角
满足
,则此三角形内角的最大值为 ．

14．设等比数列
的前项和为
,已知
则
的值为 ．

15．抛物线
的焦点为，点
为该抛物线上的动点，又点
，

则
的取值范围是 ．

三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

16．（本小题满分12分）

已知函数
，

．

（Ⅰ）求函数
的最小正周期和单调递增区间；

（Ⅱ）若
，求
的值．

17．（本小题满分12分）

近年来，我国很多城市都出现了严重的雾霾天气．为了更好地保护环境，2012年国家环保部发布了新修订的《环境空气质量标准》,其中规定:居民区 的PM2.5的年平均浓度不得超过35微克/立方米.某城市环保部门在2014年1月1日到 2014年3月31日这90天对某居民区的PM2. 5平均浓度的监测数据统计如下:

组别

 PM2.5浓度（微克/立方米）

频数（天）



第一组

（0,35]

24



第二组

(35,75]

48



第三组

(75,115]

12



第四组

>115

6





（Ⅰ）在这
天中抽取
天的数据做进一步分析,每一组应抽取多少天?

（Ⅱ）在(I)中所抽取的样本PM2. 5的平均浓度超过75(微克/立方米)的若干天中,随 机抽取2天,求至少有一天平均浓度超过115(微克/立方米)的概率.

18．（本小题满分12分）

如图，在长方体
中，
．

（Ⅰ）若点在对角线
上移动，求证：
⊥
；

（Ⅱ）当为棱
中点时，求点到平面
的距离。

19．（本小题满分12分）

已知数列
满足
（
）．

（Ⅰ）若数列
是等差数列，求数列
的前项和
；

（Ⅱ）证明：数列
不可能是等比数列．

20．（本小题满分13分）

如图，已知椭圆
的右焦点为
，点是椭圆上

任意一点，圆
是以
为直径的圆．

（Ⅰ）若圆
过原点
，求圆
的方程；

（Ⅱ）写出一个定圆的方程，使得无论点在椭圆的什么位置，该定圆总与圆
相切,请写出你的探究过程．

21．（本小题满分14分）

设函数

．

（Ⅰ） 当
时，求函数
的极值；

（Ⅱ）若
，证明：
在区间
内存在唯一的零点；

（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，设
是
在区间
内的零点，判断数列
的增减性.

鹰潭市2014届高三第二次模拟考试

数学试题（文科）参考答案

一、选择题：

选择题

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10



答案























二、填空题：

１１.
；１２.
；１３.
；１４. 1；１５．

四、解答题：

．（本小题满分12分）

解：（Ⅰ）易得

∴

=
………………（3分）

所以，函数
的最小正周期

又由

得：

所以，函数
的单调递增区间为

（6分）

（Ⅱ）由题意，

∴
………………（8分）

所以，

（12分）

．（本小题满分12分）

解：（Ⅰ）这
天中抽取
天,应采取分层抽样,

第一组抽取
天；　　　第二组抽取
天；

第三组抽取
天；　　 第四组抽取
天 ． ………………（4分）

(Ⅱ)设PM2.5的平均浓度在(75,115]内的4天记为
,PM2.5的平均浓度在115以上的两天记为
.所以6天任取2天的情况有:

共15种 ………………（8分）

记“至少有一天平均浓度超过115(微克/立方米)”为事件A,其中符合条件的有:







，
共
种．

所以，所求事件A的概率
． ………………（12分）

．（本小题满分12分）

　　证明：（Ⅰ）由长方体
，得：
面

而
面
∴
即

又由正方形
,得：
, 而

∴
面
于是

．（本小题满分12分）

解：（Ⅰ）∵ 数列
是等差数列，设其首项为
，公差为
，则

∴ 由已知可得:
即

又

∴
，
可得：

∴

．（本小题满分13分）

解：（Ⅰ）解法一：因为圆
过原点
，所以
，所以是椭圆的短轴顶点，的坐标是
或
，于是点
的坐标为
或
，

………（8分）

探究过程为：设圆
的半径为，定圆的半径为，

因为
，

所以当原点为定圆圆心，半径
时，定圆始终与圆
相内切．………（13分）

证明:（Ⅱ）由已知，得：

∴易得：
于是
在区间
内存在零点；

又当
时，
恒成立

∴函数
在区间
内是单调递增的

故