一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．

1．集合
，则
＝（　　）

A．{0,2,3} B．{0,1,4} C．{1,2,3} D．{1,4,5}

2．若函数
，则该函数在
上是（ ）

A．单调递减无最小值 B．单调递减有最小值

C．单调递增无最大值 D．单调递增有最大值

3．已知函数

的最小正周期为，为了得到函数

的图象，只要将
的图象( )

A．向左平移
个单位长度 B．向右平移
个单位长度

C．向左平移
个单位长度 D．向右平移
个单位长度

4．设
则下列不等式成立的是(　　)

A．
B．
C．
D．

5．“数列
为递增数列”的一个充分不必要条件是（　　）

A．
　　 B．
　 C．
　 D．

6．已知函数
内是减函数，则（ ）

A．0<≤1 B．－1≤<0 C．≥1 D．≤－1

7．M是正方体
的棱
的中点，给出下列命题：

①过M点有且只有一条直线与直线
、
都相交；

②过M点有且只有一条直线与直线
、
都垂直；

③过M点有且只有一个平面与直线
、
都相交；

④过M点有且只有一个平面与直线
、
都平行.其中真命题是（ ）

A．②③④ B．①③④ C．①②④ D．①②③

8．过点P(4,2)作圆x2＋y2＝4的两条切线，切点分别为A，B，O为坐标原点，则△OAB

的外接圆方程是(　　)

A．(x－2)2＋(y－1)2＝5 B．(x－4)2＋(y－2)2＝20

C．(x＋2)2＋(y＋1)2＝5 D．(x＋4)2＋(y＋2)2＝20

9．已知二次函数
的导函数为
，且
＞0，
的图象与x

轴恰有一个交点，则
的最小值为 (　　 )

A．3 B． C．2 D．

10．设
，
分别为双曲线
：

的左、右焦点，为双曲线

的左顶点，以
为直径的圆交双曲线某条渐近线于
、
两点，且满足：

，则该双曲线的离心率为（ ）

A．
B．
C．
D．

二、选做题：请在下列两题中任选一题作答。若两题都做，则按第一题评阅计分。本题

共5分.

11．(1)（坐标系与参数方程选做题）已知曲线C的极坐标方程为：
，直线的极坐标方程为：
.则它们相交所得弦长等于 .

(2)（不等式选做题）已知函数f (x)＝|x－2|－|x－5|，则不等式f (x)≥x2－8x＋15的

解集为 ．

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

12．复数z=
(i为复数的虚数单位)的模等于 ．

13．掷均匀硬币5次，则总共掷出3次正面且在整个投掷过程中掷出反面的次数总是小

于正面次数的概率是 ．

14．语句：

S=0

i=1

Do

S=S+i

i=i+2

Loop while S≤200

n=i－2

Output n 则正整数n= .

15．在平面直角坐标系中，设点
，其中O为坐标原点，对于以下结论：

①符合[OP]=1的点P的轨迹围成的图形的面积为2；

②设P为直线
上任意一点，则[OP]的最小值为1；

③设P为直线
上的任意一点，则“使[OP]最小的点P有无数个”

的必要不充分条件是“
”.

其中正确的结论有 （填上你认为正确的所有结论的序号）.

三、解答题:本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

16．（本小题满分12分）已知△ABC的面积S满足
≤S≤3，且
·
= 6 ,
与
的夹角为.

(1) 求
的范围;(2)求函数
=
的最大值.

17．（本小题满分12分）八一商场进行促销活动，促销方案为顾客消费1000元，便可获

得奖券一张，每张奖券中奖的概率为
，中奖后商场返还顾客现金1000元. 顾客甲

购买一台价格2400元的手机，只能得2张奖券，于是甲补偿50元给同事购买价格

600元的商品（甲可以得到三张奖券），甲抽奖后实际支出为
（元）.

（1）求
的分布列；

（2）试说明甲出资50元增加1张奖券是否划算.

18．（本小题满分12分）如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，
，当E、F

分别在线段AD、BC上，且
，AD=4，CB=6，AE=2.现将梯形ABCD沿EF折

叠，使平面ABFE与平面EFCD垂直.

（1）判断直线AD与BC是否共面，并证明你的结论；

（2）当直线AC与面EFCD所成角的正切值为多少时，二面角A-DC-E的大小是60°？

19．（本小题满分12分）已知数列
的前n项和
满足：

（正常数
），
.

（1）求
的通项公式；

（2）设
，若数列
为等比数列，求的值；

（3）在满足条件（2）的情形下，
，数列
的前n项和为
,

求证：
．

20．（本小题满分13分）已知抛物线C1:y2=4x的焦点与椭圆C2:
的右焦点F2

重合，F1是椭圆的左焦点.

（1）在ABC中，若A(-4,0)，B(0,-3)，点C在抛物线y2=4x上运动，求ABC重心G

的轨迹方程；

（2）若P是抛物线C1与椭圆C2的一个公共点，且∠PF1F2=，∠PF2F1=
,求cos

的值及PF1F2的面积.

21．（本小题满分14分）已知函数
(常数
.

（1）当
时，求曲线
在
处的切线方程；

（2）讨论函数
在区间
上零点的个数（为自然对数的底数）.

答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．

1．集合
，则
＝（　D　）

A．{0,2,3} B．{0,1,4} C．{1,2,3} D．{1,4,5}

2．若函数
，则该函数在
上是（ A ）

A．单调递减无最小值 B．单调递减有最小值

C．单调递增无最大值 D．单调递增有最大值

3．已知函数

的最小正周期为，为了得到函数

的图象，只要将
的图象( B )

A．向左平移
个单位长度 B．向右平移
个单位长度

C．向左平移
个单位长度 D．向右平移
个单位长度

4．设
则下列不等式成立的是(　D　)

A．
B．
C．
D．

5．“数列
为递增数列”的一个充分不必要条件是（　D　）

A．
　　 B．
　 C．
　 D．

6．已知函数
内是减函数，则（ B ）

A．0<≤1 B．－1≤<0 C．≥1 D．≤－1

7．M是正方体
的棱
的中点，给出下列命题：

①过M点有且只有一条直线与直线
、
都相交；

②过M点有且只有一条直线与直线
、
都垂直；

③过M点有且只有一个平面与直线
、
都相交；

④过M点有且只有一个平面与直线
、
都平行.其中真命题是（ C ）

A．②③④ B．①③④ C．①②④ D．①②③

8．过点P(4,2)作圆x2＋y2＝4的两条切线，切点分别为A，B，O为坐标原点，则△OAB

的外接圆方程是(　A　)

A．(x－2)2＋(y－1)2＝5 B．(x－4)2＋(y－2)2＝20

C．(x＋2)2＋(y＋1)2＝5 D．(x＋4)2＋(y＋2)2＝20

9．已知二次函数
的导函数为
，且
＞0，
的图象与x

轴恰有一个交点，则
的最小值为 (　C　 )

A．3 B． C．2 D．

10．设
，
分别为双曲线
：

的左、右焦点，为双曲线

的左顶点，以
为直径的圆交双曲线某条渐近线于
、
两点，且满足：

，则该双曲线的离心率为（ A ）

A．
B．
C．
D．

二、选做题：请在下列两题中任选一题作答。若两题都做，则按第一题评阅计分。本题

共5分.

14．语句：

S=0

i=1

Do

S=S+i

i=i+2

Loop while S≤200

n=i－2

Output n 则正整数n= 29 .

15．在平面直角坐标系中，设点
，其中O为坐标原点，对于以下结论：

①符合[OP]=1的点P的轨迹围成的图形的面积为2；

②设P为直线
上任意一点，则[OP]的最小值为1；

③设P为直线
上的任意一点，则“使[OP]最小的点P有无数个”

的必要不充分条件是“
”.

其中正确的结论有 ①③ （填上你认为正确的所有结论的序号）.

三、解答题:本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

16．（本小题满分12分）已知△ABC的面积S满足
≤S≤3，且
·
= 6 ,
与
的夹角为.

(1) 求
的范围;(2)求函数
=
的最大值.

解：（1）∵

∴S=3
. ∴
。

（2）
上递增，∴
.

17．（本小题满分12分）八一商场进行促销活动，促销方案为顾客消费1000元，便可获

得奖券一张，每张奖券中奖的概率为
，中奖后商场返还顾客现金1000元. 顾客甲

购买一台价格2400元的手机，只能得2张奖券，于是甲补偿50元给同事购买价格

600元的商品（甲可以得到三张奖券），甲抽奖后实际支出为
（元）.

（1）求
的分布列；

（2）试说明甲出资50元增加1张奖券是否划算.

解：（1）
的所有可能取值为2450,1450,450，－550 ,

，

分布列为

2450

1450

450

－550



P













（2）

　　　　＝1850（元）） …（9分）

设小李不出资50元增加1张奖券,消费的实际支出为
（元）

则
,

∴

∴
, 故小王出资50元增加1张奖券划算.…（12分）

18．（本小题满分12分）如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，
，当E、F

分别在线段AD、BC上，且
，AD=4，CB=6，AE=2.现将梯形ABCD沿EF折

叠，使平面ABFE与平面EFCD垂直.

（1）判断直线AD与BC是否共面，并证明你的结论；

（2）当直线AC与面EFCD所成角的正切值为多少时，二面角A-DC-E的大小是60°？

解：（1）
、
是异面直线， （1分）

（反证法）假设
、
共面为．

,
,
,
,
．

,又

．

这与
为梯形矛盾．故假设不成立．即
、
是异面直线． …6分

（2）延长CD,FE相交于N，由已知
设
则△NDE中，
，

，平面
平面
,

平面
．过E作
于H，连结AH，

则
．
是二面角
的平面角，

则
．
,
,

,

此时在△EFC中，

．又
平面
,

是直线
与平面
所成的角,

．

即当直线
与平面
所成角的正切值为
时，二面角
的

大小为
。

19．（本小题满分12分）已知数列
的前n项和
满足：

（正常数
），
.

（1）求
的通项公式；

（2）设
，若数列
为等比数列，求的值；

（3）在满足条件（2）的情形下，
，数列
的前n项和为
,

求证：
．

解：（1）
, ∴
……….1分

当
时，

两式相减得：
，
, 即
是等比数列．

∴
；…4分

（2）由（1）知,
,
，

若
为等比数列，则有

而
，
,
……6分

故

，

解得
， ……………………7分

再将
代入得
成立，所以
． …………8分

（3）证明：由（2）知
，

所以




… 10分

所以

………12分

20．（本小题满分13分）已知抛物线C1:y2=4x的焦点与椭圆C2:
的右焦点F2

重合，F1是椭圆的左焦点.

（1）在ABC中，若A(-4,0)，B(0,-3)，点C在抛物线y2=4x上运动，求ABC重心G

的轨迹方程；

（2）若P是抛物线C1与椭圆C2的一个公共点，且∠PF1F2=，∠PF2F1=
,求cos

的值及PF1F2的面积.

解：（1）设重心G(x,y)，则
整理得
将(*)式代入

y2=4x中，得(y+1)2=