第I卷（选择题? 共60分）

一、选择题:本大题共12个小题，每小题5分，共60分.每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的.

1．已知全集
，集合
，
，则
（ ）

A．
B．
C．
D．

2．已知复数
（是虚数单位），它的实部和虚部的和是（ ）

A．4 B．6 C．2 D．3

3．下列命题中是假命题的是 （　　）

A．

上递减

B．

C．
;

D．
都不是偶函数

4．已知实数
满足
，则目标函数
的最小值为（ ）

A．5 B．
C．6 D．7

5． “
”是“函数
在区间
上为增函数”的（ ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件　　 D．既不充分也不必要条件

6．设振幅、相位、初相为方程
的基本量，则方程

的基本量之和为 （ ）

A．　　　　 B．
　　　　 C．
　　　　 D．

7．已知正四面体的俯视图如图所示，其中四边形
是边长为的正方形，

则这个正四面体的主视图的面积为 （ ）

A．
B．
C．
D．

8．F1，F2是双曲线
的左、右焦点，过左焦点F1的直线
与双曲线C的左、右两支分别交于A，B两点，若
，则双曲线的离心率是（ ）

A．
B．
C．2 D．

9．设
,则下列关系式成立的是（ ）

A．
B．

C．
D．

10．已知
是上的偶函数，当
时，
，又是函数
的正零点，则
，
，
的大小关系是 （ ）

A．
B．

C．
D．

第Ⅱ卷（非选择题 共90分）

二、填空题：本大题共4个小题，每小题4分，共16分.

11.已知在平面直角坐标系
中圆
的参数方程为：
，（
为参数），以
为极轴建立极坐标系，直线极坐标方程为：
则圆
截直线所得弦长为

12．右边茎叶图表示的是甲、乙两人在5次综合测评中的成绩，其中有一个数字被污损，则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率是____________．

13．如图，已知
，
与
的夹角为
，点
是
的外接圆上优孤
上的一个动点，则
的最大值为 .

14．右图是一个算法的程序框图，最后输出的
________.

15.
表示不超过
的最大整数.

，

，

，

那么
.

三、解答题:本大题共6小题，共74分.

16． (本题满分12分)

已知为向量与的夹角，
，
，关于的一元二次方程

x
有实根.

（Ⅰ）求的取值范围；

（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求函数
的最值.

17．(本题满分12分)

某学校实施“十二五高中课程改革”计划，高三理科班学生的化学与物理水平测试的成绩抽样统计如下表.成绩分A(优秀)、B(良好)、C(及格)三种等级，设、分别表示化学、物理成绩. 例如：表中化学成绩为B等级的共有20+18+4=42人.已知与均为B等级的概率为0.18.

A

B

C



A

7

20

5



B

9

18

6



C



4





(Ⅰ) 求抽取的学生人数；

（Ⅱ）若在该样本中，化学成绩的优秀率是0.3，

求
的值；

（Ⅲ）物理成绩为C等级的学生中，已知

,
, 随机变量
，

求
的分布列和数学期望.

18． (本题满分12分)

已知公差不为零的等差数列
的前
项和为
，且
为
和
的等比中项．

（1）求
的通项公式
及前项和
；

（2）若数列
满足
，且
，求数列
的前项和

19．(本题满分12分)

在三棱柱
中，已知
，
，点
在底面
的投影为，且
．

（1）证明：平面
⊥平面
；

（2）设为
上一点，当
时，求二面角
的正弦值．

20．(本题满分13分)

如图，设是椭圆
:
的左焦点，
为椭圆的长轴，为椭圆
上一点，

且
．

（Ⅰ）求椭圆
的方程；

（Ⅱ）设点
，

①求证：对于任意的割线
，恒有
；

②求三角形
面积的最大值．

21.（本小题满分14分）

设函数
，
.

（1）若函数
在
上单调递增，求实数的取值范围；

（2）求函数
的极值点.

（3）设
为函数
的极小值点，
的图象与轴交于
两点,且
，
中点为
，比较
与
的大小.

答案

第I卷（选择题? 共60分）

一、选择题:本大题共12个小题，每小题5分，共60分.每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的.

1．已知全集
，集合
，
，则
（ ）

A．
B．
C．
D．

2．已知复数
（是虚数单位），它的实部和虚部的和是（ ）

A．4 B．6 C．2 D．3

3．下列命题中是假命题的是 （　　）

A．

上递减

B．

C．
;

D．
都不是偶函数

4．已知实数
满足
，则目标函数
的最小值为（ ）

A．5 B．
C．6 D．7

5． “
”是“函数
在区间
上为增函数”的（ ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件　　 D．既不充分也不必要条件

6．设振幅、相位、初相为方程
的基本量，则方程

的基本量之和为 （ ）

A．　　　　 B．
　　　　 C．
　　　　 D．

7．已知正四面体的俯视图如图所示，其中四边形
是边长为的正方形，

则这个正四面体的主视图的面积为 （ ）

A．
B．
C．
D．

8．F1，F2是双曲线
的左、右焦点，过左焦点F1的直线
与双曲线C的左、右两支分别交于A，B两点，若
，则双曲线的离心率是（ ）

A．
B．
C．2 D．

9．设
,则下列关系式成立的是（ ）

A．
B．

C．
D．

10．已知
是上的偶函数，当
时，
，又是函数
的正零点，则
，
，
的大小关系是 （ ）

A．
B．

C．
D．

第Ⅱ卷（非选择题 共90分）

二、填空题：本大题共4个小题，每小题4分，共16分.

11. 已知在平面直角坐标系
中圆
的参数方程为：
，（
为参数），以
为极轴建立极坐标系，直线极坐标方程为：
则圆
截直线所得弦长为

12．右边茎叶图表示的是甲、乙两人在5次综合测评中的成绩，其中有一个数字被污损，则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率是____
________．

13．如图，已知
，
与
的夹角为
，点
是
的外接圆上优孤
上的一个动点，则
的最大值为 .

14．右图是一个算法的程序框图，最后输出的
_____22___.

15.
表示不超过
的最大整数.

，

，

，

那么
55 .

三、解答题:本大题共6小题，共74分.

16． (本题满分12分)

已知为向量与的夹角，
，
，关于的一元二次方程

x
有实根.

（Ⅰ）求的取值范围；

（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求函数
的最值.

解：

16.（I） 因为
为向量与
的夹角，所
，由
，
,可得
，


. ………………3分

关于的一元二次方程
有实根，则有

,得
，所以
.………6分

（II）

=

=
………………9分

因为
，所以
,所以sin(

所以，函数的最大值为
，最小值为-1. ………………12分

17． (本题满分12分)

17.某学校实施“十二五高中课程改革”计划，高三理科班学生的化学与物理水平测试的成绩抽样统计如下表.成绩分A(优秀)、B(良好)、C(及格)三种等级，设、分别表示化学、物理成绩. 例如：表中化学成绩为B等级的共有20+18+4=42人.已知与均为B等级的概率为0.18.

A

B

C



A

7

20

5



B

9

18

6



C



4





(Ⅰ) 求抽取的学生人数；

（Ⅱ）若在该样本中，化学成绩的优秀率是0.3，

求
的值；

（Ⅲ）物理成绩为C等级的学生中，已知

,
, 随机变量
，

求
的分布列和数学期望.

18． (本题满分12分)

已知公差不为零的等差数列
的前
项和为
，且
为
和
的等比中项．

（1）求
的通项公式
及前项和
；

（2）若数列
满足
，且
，求数列
的前项和

解：（1） 设公差为
，则
，∴
，
；

（2）由（1）
，

当
时，
，∴
，又
适合上式

∴

， ∴
，

∴
．

19．(本题满分12分)

在三棱柱
中，已知
，
，点
在底面
的投影为，且
．

（1）证明：平面
⊥平面
；

（2）设为
上一点，当
时，求二面角
的正弦值．

（1）证明：∵
平面
，
平面

∴
，

在
中，
，∴
，

∴
平面
，
平面
，

∴ 平面
⊥平面
；

（2）法一：传统方法 由（1）知