第Ⅰ卷

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．已知集合
，
，则
为（ ）

A．
B．
C．
D．

2．已知
，为虚数单位，且
，则
的值为 ( ）

A．4 B．4+4 C．
D．2

3.已知数列
的前n项和为
，且
，则
=（ ）

A．-16 B．-32 C．32 D．-64

为调查某校学生喜欢数学课的人数比例，采用如下调查方法：

（1）在该校中随机抽取100名学生，并编号为1,2,3，……,100；

（2）在箱内放置两个白球和三个红球，让抽取的100名学生分别从箱中随机摸出一球，记住其颜色并放回；

（3）请下列两类学生举手：（ⅰ）摸到白球且号数为偶数的学生；（ⅱ）摸到红球且不喜欢数学课的学生.

如果总共有26名学生举手，那么用概率与统计的知识估计，该校学生中喜欢数学课的人数比例大约是（ ）

A. 88% B. 90% C. 92% D. 94%

5．已知
R且
，若
（e为自然对数的底数），则下列正确的是（ ）

A．
　　　　　　　 B．

C．
　　　　　 D．

6. 已知正三角形ABC的顶点A(1,1)，B(1,3)，顶点C在第一象限，若点（x，y）在△ABC内部，则z=－x+y的取值范围是（ ）

A. (1－，2) B. (0，2) C. (－1，2) D. (0，1+)

7. 已知双曲线
的左、右焦点分别为
为
的右支上一点，且
，则
等于（ ）

A. 24 B. 48 C. 50 D. 56

8. 一个算法的程序框图如下图所示，若该程序输出的结果为
，则判断框中应填入的条件是（ ）

A.
B.
C.
D.

9. 已知四棱锥P-ABCD的侧棱长与底面边长都相等，点是
的中点，则异面直线
与
所成角的余弦值为（ ）

A.
B.
C.
D.

10. 已知长方形ABCD，抛物线
以CD的中点E为顶点，经过A、B两点，记拋物线
与AB边围成的封闭区域为M.若随机向该长方形内投入一粒豆子，落入区域M的概率为P.则下列结论正确的是（ ）

A. 不论边长
如何变化，P为定值 B. 若
的值越大，P越大

C. 当且仅当
时，P最大 D. 当且仅当
时，P最小

第Ⅱ卷

注意事项：

第Ⅱ卷共3页，须用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答，若在试题卷上作答，答案无效．

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

11. 已知、
，且
，
，
．

12. 若
是平面内夹角为
的两个单位向量,则向量
的

夹角为 ．

13. 已知偶函数
在R上的任一取值都有导数,且
,
则曲线
在
处的切线的斜率为 ．

14. 若双曲线
的左、右焦点分别为F1,F2,线段F1F2被抛物线
的焦点分成5:3两段,则此双曲线的离心率为______．

三、选做题：请在下列两题中任选一题作答.若两题都做，则按第一题评阅计分.本题

共5分.

15．（考生注意：请在下列两题中任选一题作答，如果多做则按所做的第一题评分）

(A)（坐标系与参数方程选做题）在直角坐标系
中，曲线C的参数方程为
为参数），以该直角坐标系的原点O为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系下，曲线的方程为
，设曲线C和曲线的交点为、，则
= ．

(B)（不等式选做题）在实数范围内，不等式
的解集为 ．

四、解答题：（本大题共6小题，共75分，其中第16—19小题每题12分，第20题13分，第21题14分）.

16.（本小题满分12分）

在
中，角
所对的边分别为
，函数
在
处取得最大值.

(I)当
时，求函数
的值域；

(II)若
且
，求
的面积.

18.（本小题满分12分）

某少儿电视节目组邀请了三组明星家庭（明星爸爸及其孩子）一起参加50米趣味赛跑活动.已知这三组家庭的各方面情况几乎相同，要求从比赛开始明星爸爸必须为自己的孩子领跑，直至完成比赛.记这三位爸爸分别为A、B、C，其孩子相应记为
.

(I)若A、B、C、为前四名 , 求第二名为孩子的概率；

(II)设孩子的成绩是第
名，求随机变量
的分布列与数学期望.

19．（本小题满分12分）

如图，已知
中，
，
，
，
，
交
于，
为
上点，且
，将
沿
折起，使平面
平面

(Ⅰ)求证：
∥平面
；

(Ⅱ)设点
是直线
上的点，且
，求
与平面
所成角的正弦值；

20．（本小题满分13分）

如图，设P是圆x2＋y2＝2上的动点，点D是P在x轴上的投影，M为PD上一点，且|PD|＝
|MD|,当P在圆上运动时，记点M的轨迹为曲线C.

（I）求证：曲线C是焦点在x轴上的椭圆，并求其方程;

（II）设椭圆C的右焦点为F2，直线
与椭圆C交于A、B两点，直线F2A与F2B的倾斜角互补，求证：直线
过定点，并求该定点的坐标.

21．(本小题满分14分)

已知
，
，且直线
与曲线
相切．

（I）若对
内的一切实数，不等式
恒成立，求实数的取值范围；

（II）（ⅰ）当
时，求最大的正整数
，使得任意
个实数

（
是自然对数的底数）都有
成立；

（ⅱ）求证：
.

答案

1.A

D

解析：本题考查正弦函数的值域、分式不等式的解法.

,
,故
.

3.B

4.B

5.C．

解析：设
，则
，∴
在
为减函数，
增函数，
， 且当
时，
．由
知
．由
得
．

6.A

解析：作出三角形的区域如图，由图象可知当直线
经过点
时，截距最大，此时
，当直线经过点C时，截距最小.因为
轴，所以
.又
的边长为2，设点
，则
，解得
.因为顶点C在第一象限，所以
.即点
.将点
代入直线
，得
，所以的取值范围是
.选A.

7.C

解析：由双曲线
的方程
，得
，所以
.又由双曲线的定义，得
，所以
.

所以
.

8.D

9.C

解析：设棱长都为1，连接AC,BD交于点O，连接OE.因为所有棱长都相等，不放设 ABCD是正方形，所以O是BD的中点，且OE//PD，故
为异面直线AE与PD所成的角.易知

.在
中，由余弦定理得

.

10.A

解析：以E为原点，CD为x轴，过点E垂直于CD的直线为y轴建立平面直角坐标系如下图所示.设正方形的长为2a，宽为b，则
，设抛物线方程为
，代入点B，得
，所以
.阴影面积
，矩形ABCD的面积
,故由几何概型得，所求事件的概率为
为常数.故选A.

12.

解析：
,
,

,
,所以
的夹角的余弦值为
,所以

13：-1

解析：由
得
可知函数的周期为4,又函数
为偶函数,所以
,即函数的对称轴为
,所以
,所以函数在
处的切线的斜率

14：

解析：抛物线的焦点坐标为
,由题意知
,
,所以
,即
,所以
,所以
.

15.（1）（坐标系与参数方程选做题）：

解析：曲线
的普通方程为
，曲线可化为
，表示圆心在
，半径
的圆，则圆心到直线
的距离为
，所以

（不等式选做题）

解析:

,即解集为
解析：

(1)

(2) 由正弦定理
得，

由余弦定理
得：

解析：

∴

所以

(2)由

所以
，
，

所以
是等比数列且
，

∴

∴

∴

∴

利用错位相减法，可以求得
. 解析：

（1）由题意，可将上述问题转化为：A、B、C、的成绩进行了四步骤排序，

分类列举（不考虑D、F）：

若第2名，则A必在第一名，故有
种.

若第3名，则A在前，故有
种.

若第4名，则有
种.

故第二名为孩子的概率是
.

由题意，可将上述问题转化为A、B、C、、b、c进行了排序 ，且要求A在前，B在b前，C在c前.孩子的成绩可以是第2名、第3名、第4名、第5名、第6名.

即

，
，
，
，
.

2

3

4

5

6



















19.

解析：（Ⅰ）以点A为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则

，
，
，
，
，
.

则
,
,

设平面SCD的法向量是
则

即

令
，则
，于是
.

，
. AM∥平面SCD.

（Ⅱ）

由（Ⅰ）知平面SCD的法向量

设
与平面
所成角为

所以
与平面
所成角的正弦值为

20.

解析：(1) 设M的坐标为(x，y)，P的坐标为(xP，yP)，

由已知得
，

∵P在圆上，∴x2＋
＝2，即
，

∴曲线C是焦点在x轴上的椭圆，其方程为
.

（2）由题意，知直线AB斜率存在，其方程为

由
，消去

△=（4km）2—4(2k2+1)(2m2—2)>0.

设
则

且
，

由已知直线F2A与F2B的倾斜角互补得，

化简得，
，
，

整理得，

所以直线MN的方程为
，

故直线MN过定点，该定点的坐标为（2，0）

21.

解析:（1）设点
为直线
与曲线
的切点，

则有
． （*）

，
． （**）

由（*）（**）两式，解得
，
．

由
整理，得
，

，要使不等式
恒成立，必须
恒成立．

设
，
，