第I卷（选择题? 共60分）

一、选择题:本大题共12个小题，每小题5分，共60分.每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的.

1．已知全集
，集合
，
，则
（ ）

A．
B．
C．
D．

2．已知复数
（是虚数单位），它的实部和虚部的和是（ ）

A．4 B．6 C．2 D．3

3．下列命题中是假命题的是 （　　）

A．

上递减

B．

C．
;

D．
都不是偶函数

4．已知实数
满足
，则目标函数
的最小值为（ ）

A．5 B．
C．6 D．7

5． “
”是“函数
在区间
上为增函数”的（ ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件　　 D．既不充分也不必要条件

6．设振幅、相位、初相为方程
的基本量，则方程

的基本量之和为 （ ）

A．　　　　 B．
　　　　 C．
　　　　 D．

7．已知正四面体的俯视图如图所示，其中四边形
是边长为的正方形，

则这个正四面体的主视图的面积为 （ ）

A．
B．
C．
D．

8．F1，F2是双曲线
的左、右焦点，过左焦点F1的直线
与双曲线C的左、右两支分别交于A，B两点，若
，则双曲线的离心率是（ ）

A．
B．
C．2 D．

9．设函数
在区间
上有零点，则实数a的取值范围为（ ）

A.
B.
C.
D.

10．已知
是上的偶函数，当
时，
，又是函数
的正零点，则
，
，
的大小关系是 （ ）

A．
B．

C．
D．

第Ⅱ卷（非选择题 共90分）

二、填空题：本大题共4个小题，每小题4分，共16分.

11．右边茎叶图表示的是甲、乙两人在5次综合测评中的成绩，其中有一个数字被污损，则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率是____________．

12．如图，已知
，
与
的夹角为
，点
是
的外接圆上优孤
上的一个动点，则
的最大值为 .

13．右图是一个算法的程序框图，最后输出的
________.

14.
表示不超过
的最大整数.

，

，

，

那么
.

15.若对于
恒成立，则实数a的取值范围

三、解答题:本大题共6小题，共74分.

16． (本题满分12分)

已知为向量与的夹角，
，
，关于的一元二次方程

x
有实根.

（Ⅰ）求的取值范围；

（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求函数
的最值.

17．已知正方形ABCD的边长为2，E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点．

（1）从C、D、E、F、G、H这六个点中，随机选取两个点，记这两个点之间的距离的平方为m，

求概率P（m ≤ 4）．

（2）在正方形ABCD内部随机取一点P，求满足｜PE｜＜2的概率．

18． (本题满分12分)

已知数列
的前项和为
，且满足
（是常数且
,
）,
．

（1）求数列
的通项公式；

（2）若数列
为等比数列，求
的通项公式；

（3）在（2）的条件下，记

，是否存在正整数，使
都成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．

19．（本小题满分12分）

如图，在斜三棱柱ABC-A1B1C1中，O是AC的中点，A1O⊥平面ABC，∠BCA=90°，AA1=AC=BC.

（I）求证： AC1⊥平面A1BC;

（II）若AA1=2，求三棱锥C-A1AB的高的大小．

20．(本题满分13分)

如图，设是椭圆
:
的左焦点，
为椭圆的长轴，为椭圆
上一点，

且
．

（Ⅰ）求椭圆
的方程；

（Ⅱ）设点
，

①求证：对于任意的割线
，恒有
；

②求三角形
面积的最大值．

21.（本小题满分14分）设函数
，
.

（1）若函数
在
上单调递增，求实数的取值范围；

（2）求函数
的极值点.

（3）设
为函数
的极小值点，
的图象与轴交于
两点,且
，
中点为
，比较
与
的大小.

答案

第I卷（选择题? 共60分）

一、选择题:本大题共12个小题，每小题5分，共60分.每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的.

1．已知全集
，集合
，
，则
（ ）

A．
B．
C．
D．

2．已知复数
（是虚数单位），它的实部和虚部的和是（ ）

A．4 B．6 C．2 D．3

3．下列命题中是假命题的是 （　　）

A．

上递减

B．

C．
;

D．
都不是偶函数

4．已知实数
满足
，则目标函数
的最小值为（ ）

A．5 B．
C．6 D．7

5． “
”是“函数
在区间
上为增函数”的（ ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件　　 D．既不充分也不必要条件

6．设振幅、相位、初相为方程
的基本量，则方程

的基本量之和为 （ ）

A．　　　　 B．
　　　　 C．
　　　　 D．

7．已知正四面体的俯视图如图所示，其中四边形
是边长为的正方形，

则这个正四面体的主视图的面积为 （ ）

A．
B．
C．
D．

8．F1，F2是双曲线
的左、右焦点，过左焦点F1的直线
与双曲线C的左、右两支分别交于A，B两点，若
，则双曲线的离心率是（ ）

A．
B．
C．2 D．

9．设函数
在区间
上有零点，则实数a的取值范围为（ ）

A.
B.
C.
D.

10．已知
是上的偶函数，当
时，
，又是函数
的正零点，则
，
，
的大小关系是 （ ）

A．
B．

C．
D．

第Ⅱ卷（非选择题 共90分）

二、填空题：本大题共4个小题，每小题4分，共16分.

11．右边茎叶图表示的是甲、乙两人在5次综合测评中的成绩，其中有一个数字被污损，则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率是____________．

答案：

12．如图，已知
，
与
的夹角为
，点
是
的外接圆上优孤
上的一个动点，则
的最大值为 .

13．右图是一个算法的程序框图，最后输出的
_____22___.

14.
表示不超过
的最大整数.

，

，

，

那么
.55

15.若对于
恒成立，则实数a的取值范围

三、解答题:本大题共6小题，共74分.

17．已知正方形ABCD的边长为2，E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点．

（1）从C、D、E、F、G、H这六个点中，随机选取两个点，记这两个点之间的距离的平方为m，

求概率P（m ≤ 4）．

（2）在正方形ABCD内部随机取一点P，求满足｜PE｜＜2的概率．

解：（1）P=
………………………6分

(2)这是一个几何概型．所有点构成的平面区域是正方形
的内部，其面积是
．满足
的点构成的平面区域是以为圆心，2为半径的圆的内部与正方形
内部的公共部分，它可以看作是由一个以为圆心、2为半径、圆心角为
的扇形的内部与两个直角边分别为1和
的直角三角形内部构成.

其面积是
．

所以满足
的概率为
…………………………12分

18． (本题满分12分)

已知数列
的前项和为
，且满足
（是常数且
,
）,
．

（1）求数列
的通项公式；

（2）若数列
为等比数列，求
的通项公式；

（3）在（2）的条件下，记

，是否存在正整数

，使
都成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．

解：(1)由
得：
∴
，

当n≥2时，

，∴

∴数列
是首项为，公比为
的等比数列∴

(2)解：

若数列
为等比数列，则
，
，此时，

(3)证：
∴

由
(n∈N*都成立得：
即
(n∈N*都成立 ∵是正整数，∴的值为1、2、3．

19．（本小题满分12分）

如图，在斜三棱柱ABC-A1B1C1中，O是AC的中点，A1O⊥平面ABC，∠BCA=90°，AA1=AC=BC.

（I）求证： AC1⊥平面A1BC;

（II）若AA1=2，求三棱锥C-A1AB的高的大小．

解：

（Ⅰ）因为A1O⊥平面ABC，所以A1O⊥BC．

又BC⊥AC，所以BC⊥平面A1ACC1，所以AC1⊥BC． …2分

因为AA1＝AC，所以四边形A1ACC1是菱形，所以AC1⊥A1C．

所以AC1⊥平面A1BC． …6分

（Ⅱ）设三棱锥C-A1AB的高为h．

由（Ⅰ）可知，三棱锥A-A1BC的高为AC1＝．

因为VC-A1AB＝VA-A1BC，即S△A1ABh＝S△A1BC·．

在△A1AB中，AB＝A1B＝2，AA1＝2，所以S△A1AB＝． …10分

在△A1BC中，BC＝A1C＝2，∠BCA1＝90(，所以S△A1BC＝BC·A1C＝2．

所以h＝． …12分

20．(本题满分13分)

如图，设是椭圆
:
的左焦点，
为椭圆的长轴，为椭圆
上一点，

且
．

（Ⅰ）求椭圆
的方程；

（Ⅱ）设点
，

①求证：对于任意的割线
，恒有
；

②求三角形
面积的最大值．

解：（Ⅰ）
；

（Ⅱ）①易知直线
斜率存在．

当
的斜率为
时，显然
，满足题意，

当
的斜率不为
时，设
:
，
，
，

由
．

∴
，

，
．

则


，

又
，∴
，

从而
．

综合可知：对于任意的割线