一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．

1设复数
，则的共轭复数是（ ）

A.
B.
C.
D.

2.设∶
∶
，则是的 　　（ ）

A充分不必要条件 B必要不充分条件　C充要条件 D既不充分也不必要

3.设
是定义在上的偶函数，且在
上是增函数，设

，则
的大小关系是（ ）

B．
C．
D．

4.已知
则
的值等于（ ）

A.
B.
C.
D.

5.已知函数
，直线
是函数
图像的一条对称轴，则
（ ）

A.
B.
C.
D.

6.等差数列
中的
、
是函数
的极值点,则
（　　）

A． B． C． D．

7.过抛物线
的焦点的直线交抛物线于
两点，点
是坐标原点，若
，则△
的面积为（ ）

A．
B．
C．
D．

8.已知函数
在点（1,2）处的切线与
的图像有三个公共点，则的取值范围是（ ）

A．
B．
C．
D．

9.美不胜收的“双勾函数”
是一个对称轴不在坐标轴上的双曲线，它的渐近线分别是轴和直线
，其离心率e=

A．
B．
C．
D．

10若函数
图像上的任意一点的坐标
满足条件
，则称函数
具有性质
，那么下列函数中具有性质
的是 （ ）

A．
B．
C．
D．

二、选做题：请在下列两题中任选一题作答若两题都做，则按第一题评阅计分本题共5分.

11．（1）（坐标系与参数方程选做题）在直角坐标系
中,以原点
为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系.若极坐标方程为
的直线与曲线
（为参数）相交于
两点,则
=（ ）

A.
B.
C.
D.

11．（2）（不等式选做题）若不等式
恒成立，则实数
的取值范围为（ ）

A .
B .
C .
D .

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，合计20分.

12.已知向量
,
,
,若
与
共线,则
_________

13.运行如图的程序框图,输出的结果是______

14.已知P是以F1，F2为焦点的椭圆
上的任意一点，若∠PF1F2=α，∠PF2F1=β，且cosα=
，sin(α+β)=
，则此椭圆的离心率为 ．

15.在棱长为1的正方体ABCD—A1B1C1D1中，M、N分别是AC1、A1B1的中点．点P 在正方体的表面上运动，则总能使MP 与BN 垂直的点P 所构成的轨迹的周长等于 ．

四、解答题：本大题共6小题，共75分.解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤.

16. （本小题满分12分）已知函数

（1）若
求
的值；

（2）求函数
最小正周期及单调递减区间．

17. （本小题满分12分）PM2．5是指大气中直径小于或等于2．5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物，对人体健康和大气环境质量的影响很大。我国PM2．5标准采用世卫组织设定的最宽限值，即PM2．5日均值在35微克／立方米以下空气质量为一级；在35微克／立方米～75微克／立方米之间空气质量为二级；在75微克／立方米以上空气质量为超标．

某市环保局从360天的市区PM2．5监测数据中，随机抽取l5天的数据作为样本，监测值如茎叶图所示(十位为茎，个位为叶)．

(1)从这l5天的数据中任取3天的数据，记
表示空气质量达到一级的天数，求
的分布列；

(2)以这l5天的PM2．5日均值来估计这360天的空气质量情况，则其中大约有多少天的空气质量达到一级．

18．（本小题满分12分）如图,
是边长为3的正方形，
，
,
与平面
所成的角为
.

(1)求二面角
的的余弦值;

(2)设点
是线段
上一动点，试确定
的位置，使得
，并证明你的结论.

19. （本小题满分12分） 设满足以下两个条件的有穷数列
为n(n=2,3,4,,)阶“期待数列”:①
;②
．

(1)分别写出一个单调递增的3阶和4阶“期待数列”;

(2)若某2k+1(
)阶“期待数列”是等差数列,求该数列的通项公式;

20．（本小题满分13分）已知椭圆C的中心在原点，焦点F在轴上，离心率
，点
在椭圆C上.（1）求椭圆
的标准方程；

（2）若斜率为

的直线交椭圆
与、两点，且
、
、
成等差数列，点M（1,1），求
的最大值.

21. （本小题满分14分）已知函数
，
（
）

（Ⅰ）若函数
存在极值点，求实数
的取值范围；

（Ⅱ）求函数
的单调区间；

（Ⅲ）当
且
时，令
， (
)，
(
)为曲线
上的两动点，O为坐标原点，能否使得
是以O为直角顶点的直角三角形，且斜边中点在y轴上？请说明理由．

答案

一.DABCC ABDDC

二．（1）D（2）D

三.12 -3 13 510 14
15

四．16

所以
的单调递减区间为

17解：（1）∵
,
的可能值为0，1， 2，3

其分布列为

………………… 3分

0

1

2

3

















………………… 6分

（2）依题意可知，一年中每天空气质量达到一级的概率为

一年中空气质量达到一级的天数为

则～
, 所以
(天) ……………………11分

一年中空气质量达到一级的天数为144天 ……………………………… 12分

18（1）

∵
平面
，∴平面
的法向量设为
，∴
，故二面角
的余弦值为
.

20

联立
易得弦AB的长为

21

当
时，
则
； …………11分

当
时，

，代入方程
得

即
， …………………………………12分

设
，则
在
上恒成立．

∴
在
上单调递增，从而
，则值域为
．

∴当
时，方程
有解，即方程
有解． …………13分

综上所述，对任意给定的正实数，曲线上总存在
两点，使得
是以O为直角顶点的直角三角形，且斜边中点在y轴上． ………………14分．