河北省衡水中学2013～2014学年度第二学期高三年级一模考试

数学（理科）试卷（A卷）

本试卷分为第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分.满分150分.考试时间120分钟.

第Ⅰ卷（选择题 共60分）

一、选择题：（本题共12个小题，每小题5分，共60分，在四个选项中，只有一项是符合要求的）

1．设全集为实数集R，
,则图中阴影部分表示的集合是( )

A．
B．

C．
D．

2．设
是虚数单位，则“
”是“
为纯虚数”的（ ）

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分又不必要条件

3．若
是等差数列，首项

，
，则使前n项和

成立的最大正整数n是（ ）

A．2011 B．2012 C．4022 D．4023

4. 在某地区某高传染性病毒流行期间，为了建立指标显示疫情已受控制，以便向该地区居众显示可

以过正常生活，有公共卫生专家建议的指标是“连续7天每天新增感染人数不超过5人”，根据连续

7天的新增病例数计算，下列各选项中，一定符合上述指标的是（ ）

①平均数
；②标准差
；③平均数
且标准差
；

④平均数
且极差小于或等于2；⑤众数等于1且极差小于或等于1。

A．①② B．③④ C．③④⑤ D．④⑤

5.在长方体ABCD—A1B1C1D1中，对角线B1D与平面A1BC1相交于点E，则点E为△A1BC1的（ ）

A．垂心 B．内心 C．外心 D．重心

6.设
满足约束条件
若目标函数

的最大值是12，则
的最小值是（ ）

A．
B．
C．
D．

7.已知三棱锥的三视图如图所示，则它的外接球表面积为（ ）

A．16
B．4
C．8
D．2

8．已知函数

图像的一部分（如图所示），则
与
的值分别为（ ）

A．
B．
C．
D．

9. 双曲线
的左右焦点分别为
,且
恰为抛物线
的焦点,设双曲线
与该抛物线的一个交点为
,若
是以
为底边的等腰三角形,则双曲线
的离心率为（　　）

A．
B．
C．
D．

10. 已知函数
是定义在R上的奇函数，若对于任意给定的不等实数
，不等式

恒成立，则不等式
的解集为( )

A.
B.
　　　C.
　　D.

11.已知圆的方程
，若抛物线过点A(0，－1)，B(0,1)且以圆的切线为准线，则抛物线的焦点轨迹方程是(　　)

A.＋＝1(y≠0) B.＋＝1(y≠0)

C.＋＝1(x≠0) D.＋＝1 (x≠0)

12. 设
是定义在
上的函数，若
，且对任意
，满足

，
，则
=（ ）

A.
B．
C．
D．

第Ⅱ卷 非选择题 （共90分）

二、填空题（本题共4个小题，每小题5分，共20分. 把每小题的答案填在答题纸的相应位置）

13.在区间[－6，6]，内任取一个元素xO ，若抛物线y=x2在x=xo处的切线的倾角为
，则
的概率为 。

14．某程序框图如图所示，该程序运行后输出的
的值是

15. 在
中，
是
边中点，角
，
，
的对边分别是
，
，
，若
，则
的形状为 。

16.在
轴的正方向上，从左向右依次取点列
，以及在第一象限内的抛物线
上从左向右依次取点列

，使
（
）都是等边三角形，其中
是坐标原点，则第2005个等边三角形的边长是 。

三、解答题（共6个题， 共70分，把每题的答案填在答卷纸的相应位置）

17.（本题12分）

在△
中，
是角
对应的边，向量
,
，且
.

（1）求角
；

（2）函数
的相邻两个极值的横坐标分别为
、
，求
的单调递减区间.

18.（本题12分）

已知四边形ABCD满足
，E是BC的中点，将△BAE沿AE翻折成
，F为
的中点.

（1）求四棱锥
的体积；

（2）证明：
；

（3）求面
所成锐二面角的余弦值.

19.（本题12分）

现有4个人去参加某娱乐活动，该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择，为增加趣味性，约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个游戏，掷出点数为1或2的人去参加甲游戏，掷出点数大于2的人去参加乙游戏.

（1）求这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率；

（2）求这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率；

（3）用X，Y分别表示这4个人中去参加甲、乙游戏的人数，记ξ＝|X－Y|，求随机变量ξ的分布列与数学期望Eξ.

20.（本题12分）

已知椭圆
：
（
）过点
，且椭圆
的离心率为
.

（Ⅰ）求椭圆
的方程；

（Ⅱ）若动点
在直线
上，过
作直线交椭圆
于
两点，且
为线段
中点，再过
作直线
.求直线
是否恒过定点，如果是则求出该定点的坐标，不是请说明理由。

21. （本题12分）

已知函数
是定义在
上的奇函数,当
时,
(其中e是自然界对数的底,
)

（1）求
的解析式;

（2）设
，求证：当
时，且
，
恒成立；

（3）是否存在实数a，使得当
时，
的最小值是3 ？如果存在，求出实数a的值；如果不存在，请说明理由。

请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.答题时用2B铅笔在答题卡上把所选的题号涂黑.

22. （本小题满分10分） 选修4—1：几何证明选讲

已知PQ与圆O相切于点A，直线PBC交圆于B、C两点，D是圆上一点，且AB∥CD，DC的延长线交PQ于点Q

求证：

若AQ=2AP，AB=
,BP=2，求QD.

23．(本小题满分10分) 选修4—4：坐标系与参数方程

在平面直角坐标系中，曲线C1的参数方程为
（a＞b＞0，
为参数），以Ο为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2是圆心在极轴上且经过极点的圆，已知曲线C1上的点M
对应的参数
=
，
与曲线C2交于点D

（1）求曲线C1，C2的方程；

（2）A（ρ1，θ），Β（ρ2，θ+
）是曲线C1上的两点，求
的值。

24．(本小题满分l0分) 选修4—5：不等式选讲

已知关于x的不等式
（其中
）．（1）当
时，求不等式的解集；（2）若不等式有解，求实数
的取值范围

2013～2014学年度第二学期高三年级一模考试

数学（理科）答案

一、选择题 （A）卷CACDD DBABC CC

（B）CCADD BDACB CC

二、填空题

13、
14、
15、等边三角形 16. 2005

三、解答题

17、解:（1）因为
，所以
，

故
,
. ---------5分

（2）

=

=

=
----------8分

因为相邻两个极值的横坐标分别为
、
，所以
的最小正周期为
,

所以
---------10分

由

所以
的单调递减区间为
. ---------12分

18、解:（1）取AE的中点M，连结B1M，因为BA=AD=DC=
BC=a，△ABE为等边三角形，则B1M=
，又因为面B1AE⊥面AECD，所以B1M⊥面AECD，

所以
---------4分

（2）连结ED交AC于O，连结OF，因为AECD为菱形，OE=OD所以FO∥B1E，

所以
。---------7分

(3)连结MD，则∠AMD=
，分别以ME,MD,MB1为x,y,z轴建系，则
,

,
,
,所以1，
，
,
,设面ECB1的法向量为
，
，

令x=1,
，同理面ADB1的法向量为

， 所以
，

故面
所成锐二面角的余弦值为
.--------12分

19.解：依题意，这4个人中，每个人去参加甲游戏的概率为，去参加乙游戏的概率为.设“这4个人中恰有i人去参加甲游戏”为事件
(i＝0,1,2,3,4)，则

（1）这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率
3分

（2）设“这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数”为事件B，则
，

由于
与
互斥，故

所以，这4个人去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率为. 7分

（3）ξ的所有可能取值为0,2,4. 由于
与
互斥，
与
互斥，故

，

。

所以ξ的分布列是

ξ

0

2

4



P









随机变量ξ的数学期望
12分

20.解：（Ⅰ）因为点
在椭圆
上，所以
， 所以
， ------- 1分

因为椭圆
的离心率为
，所以
，即
， ------- 2分

解得
， 所以椭圆
的方程为
. ------- 4分

（Ⅱ）设
，
，

①当直线
的斜率存在时，设直线
的方程为
，
，
，

由
得
，

所以
， 因为
为
中点，所以
，即
.

所以
， ------- 8分

因为直线
，所以
，所以直线
的方程为
，

即
，显然直线
恒过定点
. ------- 10分

②当直线
的斜率不存在时，直线
的方程为
，此时直线
为
轴，也过点
.

综上所述直线
恒过定点
.------- 12分

21.解：（1）设
，