南通市2014届高三第一次调研测试

数学Ⅰ参考答案与评分标准

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上．

1． 已知集合U
{1，2，3，4，5}，A
{1，2，4}，则
▲ ．

【答案】{3，5}．

2． 已知复数
，
(
为虚数单位)．在复平面内，
对应的点在第 ▲ 象限．

【答案】二．

3． 命题：“
，
”的否定是 ▲ ．

【答案】
，
．

4． 在平面直角坐标系
中，抛物线
上横坐标为1的点到其焦点的距离为 ▲ ．

【答案】3．

5． 设实数
，
满足
则
的最大值是 ▲ ．

【答案】7．

6． 如图是一个算法的流程图．若输入x的值为2，则输出y的

值是 ▲ ．

【答案】
．

7． 抽样统计甲，乙两个城市连续5天的空气质量指数(AQI)，数据如下：

城市

空气质量指数(AQI)





第1天

第2天

第3天

第4天

第5天



甲

109

111

132

118

110



乙

110

111

115

132

112



则空气质量指数(AQI)较为稳定(方差较小)的城市为 ▲ （填甲或乙）．

【答案】乙．

8． 已知正三棱锥的侧棱长为1，底面正三角形的边长为
．现从该正三棱锥的六条棱中随机选取两条棱，则这两条棱互相垂直的概率是 ▲ ．

【答案】
．

9． 将函数

的图象上所有点向右平移
个单位后得到的图象关于原点对称，则
等于 ▲ ．

【答案】
．

10．等比数列{an}的首项为2，公比为3，前n项和为Sn．若log3［an(S4m+1)］=9，则+的最小值

是 ▲ ．

【答案】
．

11．若向量
，
，且
，则
的值是 ▲ ．

【答案】1．

12．在平面直角坐标系
中，直线
是曲线
的切线，则当
＞0时，实数
的最小值是 ▲ ．

【答案】
．

13．已知集合M=
≤y≤
，N=
≥
，则表示M∩N的图形面积等于 ▲ ．

【答案】
．

14．若函数
对任意实数
，在闭区间
上总存在两实数
、
，使得
8成立，则实数
的最小值为 ▲ ．

【答案】8．

二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答. 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

15．(本小题满分14分)

如图，在四棱柱
中，
，
，且
．

（1）求证：
∥平面
；

（2）求证：
⊥平面
．

（1）证明：在四棱柱
中，
，

平面
，

平面
，

所以
平面
． ……………………………………………………………………6分

（2）证明：在四棱柱
中，四边形
为平行四边形，又
，

故四边形
为菱形．

从而
．…………………………………………………………………………… 9分

又
，而

，

平面
，

所以

平面
． ………………………………………………………………… 14分

16．(本小题满分14分)

在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边长，且c=－3bcosA，tanC=
．

（1）求tanB的值；

（2）若
，求△ABC的面积．

（1）解：由正弦定理，得
，………………………………………………2分

即
．

所以
．

从而
．

因为
，所以
．……………………………………………………4分

又
，由（1）知，
，

解得
．………………………………………………………………………………6分

（2）解：由（1），得
，
，
． ………………………………10分

由正弦定理，得
．……………………………………………12分

所以△ABC的面积为
． ………………………………14分

17．(本小题满分14分)

已知a为实常数，y=f(x)是定义在(－∞，0)∪(0，+∞)上的奇函数，且当x<0时，f(x)=2x－+1．

（1）求函数f(x)的单调区间；

（2）若f(x)≥a－1对一切x＞0成立，求a的取值范围．

（1）解：由奇函数的对称性可知，我们只要讨论f(x)在区间(－∞，0)的单调性即可．

f ′(x)＝2＋，令f ′(x)＝0，得x＝－a． …………………………………………………2分

①当a≤0时，f ′(x)＞0，故f(x)在区间(－∞，0)是单调递增． ……………………… 4分

②当a＞0时，x ∈(－∞，－a )，f ′(x)＞0，所以f(x)在区间(－∞，－a )是单调递增．

x ∈(－a，0)，f ′(x)＜0，所以f(x)在区间(－a，0)是单调减．……………………… 6分

综上所述：当a≤0时，f(x)单调增区间为(－∞，0)，(0，+∞)；当a＞0时，f(x)单调增区间为(－∞，－a )，(a ，+∞)，单调减区间为(－a，0)，(0，a)．…………………… 7分

（2）解：因为f(x)为奇函数，

所以当x＞0时，f(x)＝－f(－x)＝－(－2 x－＋1)＝2x＋ －1． …………………… 9分

①当a＜0时，要使f(x)≥a－1对一切x＞0成立，即2x＋ ≥a对一切x＞0成立．

而当x＝－＞0时，有－a+4a≥a，所以a≥0，则与a＜0矛盾．

所以a＜0不成立．………………………………………………………………………11分

②当a＝0时，f(x)＝2x－1＞－1=a－1对一切x＞0成立，故a＝0满足题设要求．…12分

③当a＞0时，由(1)可知f(x)在(0，a)是减函数，在(a ，+∞)是增函数．

所以fmin(x)=f(a)＝3a－1＞a－1，所以a＞0时也满足题设要求． ………………… 13分

综上所述，a的取值范围是
．…………………………………………………… 14分

18．(本小题满分16分)

如图，一块弓形薄铁片EMF，点M为
的中点，其所在圆O的半径为4 dm（圆心O在弓形EMF内），∠EOF=
．将弓形薄铁片裁剪成尽可能大的矩形铁片ABCD(不计损耗)， AD∥EF，且点A、D在
上，设∠AOD=
．

（1）求矩形铁片ABCD的面积S关于
的函数关系式；

（2）当矩形铁片ABCD的面积最大时，求cos
的值．

（1）解：设矩形铁片的面积为
，
．

当
时（如图①），
，
，

．…………………………… 3分

当
时（如图②），
，
，

故
．

综上得，矩形铁片的面积S关于
的函数关系式为

……………………………………………………… 7分

（2）解：当
时，求导，得

．

令
，得
．…………………………………………………………… 10分

记区间
内余弦值等于
的角为
（唯一存在）．列表：













0







增函数

极大值

减函数



又当
时，
在
上的单调减函数，

所以当
即
时，矩形的面积最大．………………………………… 16分

19．(本小题满分16分)

如图，在平面直角坐标系
中，椭圆
过点
，离心率为
，又椭圆内接四边形ABCD (点A、B、C、D在椭圆上)的对角线AC，BD相交于点
，且
，
．

（1）求椭圆的方程；

（2）求直线AB的斜率．

（1）解：依题意，
解得

所求椭圆的方程为
． ………………………………………………………… 6分

（2）解：设
，则
．

由
，得
．…………………………………………………… 8分

代入椭圆方程
，得
．

整理，得
，………………………………………………… 10分

即
． ③ …………………………………………… 12分

设
，同理可得
． ④ …………………………………………… 14分

③
④，得
，即直线AB的斜率为
． …………………… 16分

20．(本小题满分16分)

已知等差数列{an}、等比数列{bn}满足a1+a2＝a3，b1b2＝b3，且a3，a2+ b1，a1+ b2成等差数列，a1，a2，b2成等比数列．

（1）求数列{an}和数列{bn}的通项公式；

（2）按如下方法从数列{an}和数列{bn}中取项：

第1次从数列{an}中取a1，

第2次从数列{bn}中取b1，b2，

第3次从数列{an}中取a2，a3，a4，

第4次从数列{bn}中取b3，b4，b5，b6，

……

第2n－1次从数列{an}中继续依次取2n－1个项，

第2n次从数列{bn}中继续依次取2n个项，

……

由此构造数列{cn}：a1，b1，b2，a2，a3，a4，b3，b4，b5，b6，a5，a6，a7，a8，a9，b7，b8，b9，b10，b11，b12，…，记数列{cn}的前n和为Sn．求满足Sn＜22014的最大正整数n．

（1）解：设等差数列{an}的公差为
，等比数列{bn}的公比为
，

依题意，得
解得a1=d=1，b1=q=2．

故an=n，bn=2n．…………………………………………………………………………… 6分

（2）解：将a1，b1，b2记为第1组，a2，a3，a4，b3，b4，b5，b6记为第2组，a5，a6，a7，a8，a9，b7，b8，b9，b10，b11，b12记为第3组，……以此类推，则第n组中，有2n－1项选取于数列{an}，有2 n项选取于数列{bn}，前n组共有n2项选取于数列{an}，有n2＋n项选取于数列{bn}，记它们的总和为Pn，并且有
． ………… 11分

，

．

当
＋（2＋22＋…＋22012）时，

．………………………………………………… 13分

当
＋（2＋22＋…＋22013)时，

．

可得到符合
的最大的n=452＋2012=4037．…………………………………… 16分

数学Ⅱ（附加题）参考答案与评分标准

21．【选做题】

选修4—1：几何证明选讲

（本小题满分10分）

在△ABC中，已知CM是∠ACB的平分线，△AMC的外接圆交BC于点N，且BN
2AM．

求证：AB
AC．

证明：如图，在△ABC中，因为CM是∠ACM的平分线，

所以
① …………………………… 3分

又因为BA与BC是圆O过同一点B的割线，

所以
，

即
…………………………………… 6分

又BN=2AM，

所以
②…………………………… 8分

由①②，得AB
AC． ……………………… 10分

选修4—2：矩阵与变换

（本小题满分10分）

设二阶矩阵
，
满足
，
，求
．

解：设
，因为
，………………………………………………… 2分

所以
，即
…………………………………………… 6分

解得
所以
．…………………………………………………… 10分

C．选修4—4：坐标系与参数方程

（本小题满分10分）

在极坐标系中，已知曲线
：
，过极点O的直线
与曲线
相交于A、B两点，

，求直线
的方程．

解：设直线
的方程为
(ρ∈R)，
，
， …………………………………2分

则