河北省衡水中学2013～2014学年度第二学期高三年级一模考试

数学（文科）试卷

本试卷分为第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分.满分150分.考试时间120分钟.

第Ⅰ卷（选择题 共60分）

一、选择题：（本题共12个小题，每小题5分，共60分，在四个选项中，只有一项是符合要求的）

1．设全集为实数集R，
,则图中阴影部分表示的集合是( )

A．
B．

C．
D．

2．设
是虚数单位，则“
”是“
为纯虚数”的（ ）

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分又不必要条件

3．若
是等差数列，首项

，
，则使前n项和

成立的最大正整数n是（ ）

A．2011 B．2012 C．4022 D．4023

4. 在某地区某高传染性病毒流行期间，为了建立指标显示疫情已受控制，以便向该地区居众显示可

以过正常生活，有公共卫生专家建议的指标是“连续7天每天新增感染人数不超过5人”，根据连续

7天的新增病例数计算，下列各选项中，一定符合上述指标的是（ ）

①平均数
；②标准差
；③平均数
且标准差
；

④平均数
且极差小于或等于2；⑤众数等于1且极差小于或等于1。

A．①② B．③④ C．③④⑤ D．④⑤

5.在长方体ABCD—A1B1C1D1中，对角线B1D与平面A1BC1相交于点E，则点E为△A1BC1的（ ）

A．垂心 B．内心 C．外心 D．重心

6.设
满足约束条件
若目标函数

的最大值是12，则
的最小值是（ ）

A．
B．
C．
D．

7.已知三棱锥的三视图如图所示，则它的外接球表面积为（ ）

A．16
B．4
C．8
D．2

8．已知函数

图像的一部分（如图所示），则
与
的值分别为（ ）

A．
B．
C．
D．

9. 双曲线
的左右焦点分别为
,且
恰为抛物线
的焦点,设 双曲线
与该抛物线的一个交点为
,若
是以
为底边的等腰三角形,则双曲线
的离心 率为（　　）

A．
B．
C．
D．

10. 已知函数
是定义在R上的奇函数，若对于任意给定的不等实数
，不等式

恒成立，则不等式
的解集为( )

A.
B.
　　　C.
　　D.

11.已知圆的方程
，若抛物线过点A(0，－1)，B(0,1)且以圆的切线为准线，则抛物线的焦点轨迹方程是(　　)

A.＋＝1(y≠0) B.＋＝1(y≠0)

C.＋＝1(x≠0) D.＋＝1 (x≠0)

12. 已知函数
与
，若
与
的交点在直线
的两侧，

则实数
的取值范围是 （ ）

A．
B．
　　 C．
　　 D．

第Ⅱ卷 非选择题 （共90分）

二、填空题（本题共4个小题，每小题5分，共20分. 把每小题的答案填在答题纸的相应位置）

13.将一枚骰子抛掷两次，若先后出现的点数分别为
，则方程
有实根的概率为

14．某程序框图如图所示，该程序运行后输出的
的值是

15. 边长为
的正△ABC内接于体积为
的球，则球面上的点到△ABC最大距离为 。

16. 在
中，
是
边中点，角
，
，
的对边分别是
，
，
，若
，则
的形状为 。

三、解答题（共6个题， 共70分，把每题的答案填在答卷纸的相应位置）

17.（本题12分）

在△
中，
是角
对应的边，向量
,
，且
.

（1）求角
；

（2）函数
的相邻两个极值的横坐标分别为
、
，求
的单调递减区间.

18.（本题12分）如图，三角形
中，
，
是边长为
的正方形，平面
⊥底面
，若
、
分别是
、
的中点．

（1）求证：
∥底面
；

（2）求证：
⊥平面
；

（3）求几何体
的体积．

19.（本题12分）参加市数学调研抽测的某校高三学生成绩分析的茎叶图和频率分布直方图均受到不同程度的破坏，但可见部分信息如下，据此解答如下问题：

（1）求参加数学抽测的人数
、抽测成绩的中位数及分数分别在
，
内的人数；

（2）若从分数在
内的学生中任选两人进行调研谈话，求恰好有一人分数在
内的概率．

20.（本题12分）

已知椭圆
：
（
）过点（2,0），且椭圆C的离心率为
.

（Ⅰ）求椭圆
的方程；

（Ⅱ）若动点
在直线
上，过
作直线交椭圆
于
两点，且
为线段
中点，再过
作直线
.求直线
是否恒过定点，若果是则求出该定点的坐标，不是请说明理由。

21. （本题12分）已知函数
(
)

当a=2时，求
在区间[e，e2]上的最大值和最小值；(2)如果函数
、
、
在公共定义域D上，满足
<
<
，那么就称
为
、
的“伴随函数”．已知函数
，
，若在区间（1，+∞）上，函数
是
、
的“伴随函数”，求a的取值范围。

请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.答题时用2B铅笔在答题卡上把所选的题号涂黑.

22. （本小题满分10分） 选修4—1：几何证明选讲

已知PQ与圆O相切于点A，直线PBC交圆于B、C两点，D是圆上一点，且AB∥CD，DC的延长线交PQ于点Q

求证：

若AQ=2AP，AB=
,BP=2，求QD.

23．(本小题满分10分) 选修4—4：坐标系与参数方程

在平面直角坐标系中，曲线C1的参数方程为
（a＞b＞0，
为参数），以Ο为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2是圆心在极轴上且经过极点的圆，已知曲线C1上的点M
对应的参数φ=
，
与曲线C2交于点D

（1）求曲线C1，C2的方程；

（2）A（ρ1，θ），Β（ρ2，θ+
）是曲线C1上的两点，求
的值。

24．(本小题满分l0分) 选修4—5：不等式选讲

已知关于x的不等式
（其中
）．（1）当
时，求不等式的解集；（2）若不等式有解，求实数
的取值范围

2013～2014学年度第二学期高三年级一模考试

数学（文科）答案

一、选择题 （A卷）CACDD DBABC CB （B卷）CACBB BDADC CD

二、填空题

13、
14、
15、等边三角形 16.

三、解答题

17、解:（1）因为
，所以
，故

,
. ---------5分

（2）

=

=

=
----------8分

因为相邻两个极值的横坐标分别为
、
，所以
的最小正周期为
,

所以
---------10分

由

所以
的单调递减区间为
. ---------12分

18、解：（I）解：取
的中点
，连结
，（如图）

因为
分别是
和
的中点，所以
，
，

又因为
为正方形， 所以
，从而
，

所以
平面
，
平面
，
，

所以平面
//平面
，所以
//平面
. ------- 4分

（2）因为
为正方形，所以
，所以

平面
，

又因为平面
⊥平面
，所以
平面
，

所以
，又因为
，

所以
，因为
,

所以
平面
. ------- 8分

连结
，因为
，所以
，

又平面
⊥平面
，
平面
，所以
⊥平面
。

因为三角形
是等腰直角三角形，所以
，

因为
是四棱锥，所以
=
. ------- 12分

19.解：解析：（1）分数在
内的频数为2，由频率分布直方图可以看出，分数在
内同样有
人． ------- 2分，

由
， 得
，

茎叶图可知抽测成绩的中位数为
．

分数在
之间的人数为

参加数学竞赛人数
，中位数为73，分数在
、
内的人数分别为
人、
人． ------- 6分

（2）设“在
内的学生中任选两人，恰好有一人分数在
内”为事件
，将
内的
人编号为
；
内的
人编