2013 2014学年度第一学期期末

高三联考试卷 数学

一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上）

1．已知全集U=R,集合
= ▲ ．

2．若
，其中
都是实数，
是虚数单位，则
= ▲ ．

3．某校对全校男女学生共1600名进行健康调查，选用分层抽样法抽取一个容量为200的样本．已知女生比男生少抽了10人，则该校的女生人数应是 ▲ 人．

4．集合A＝{2，3}，B＝{1，2，3}, 从A，B中各任意取一个数，则这两数之和等于4的概率是 ▲ ． [来源:学科网ZXXK]

5．若“
”是“
”的充分不必要条件,则实数
的取值范围是 ▲ ．

6．按右面的程序框图运行后,输出的
应为 ▲ ．

7．已知等比数列
的公比
,且
成等差数列,则

的前8项和为 ▲ ．

8．长方体
中,
,则四面体
的体积为 ▲ ．

9．函数

的图像如图，则
= ▲ ．

10．已知平面向量
，
，若

，则
的值为 ▲ ．

11．已知椭圆
和圆
,若
上存在点
,使得过点
引圆
的两条切线,切点分别为
,满足
,则椭圆
的离心率的取值范围是 ▲ ．

12．定义域为
的偶函数
满足对
,有
,且当
时,
,若函数
在

上至少有三个零点,则
的取值范围是 ▲ ．

13．如图，点C为半圆的直径AB延长线上一点，AB=BC=2，过动

点P作半圆的切线PQ，若
,则
的面积的最大值

为 ▲ ．

14．已知三次函数
在R上单调递增，则
的最小值为 ▲ ．

二．解答题：(本大题共6个小题，共90分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

15．已知函数
.

(1)求
的值;

(2)设
的值

16．如图,四边形ABCD为平行四边形，四边形ADEF
是正方形，且BD⊥平面CDE，H是BE的中点,G是AE,DF的交点.

（1）求证:GH∥平面CDE；

（2）求证:面ADEF⊥面ABCD.

17．某企业有两个生产车间分别在
、
两个位置，
车间有100名员工，
车间有400名员工。现要在公路
上找一点
,修一条公路
，并在
处建一个食堂，使得所有员工均在此食堂用餐。已知
、
、
中任意两点间的距离均有
，设
，所有员工从车间到食堂步行的总路程为
.

（1）写出
关于
的函数表达式，并指出
的取值范围；

（2）问食堂
建在距离
多远时，可使总路程
最少.

18．已知椭圆C的中点在原点,焦点在x轴上

,离心率等于
,它的一个顶点恰好是抛物线
的焦点.

(1)求椭圆C的方程;(2)点P(2,3),Q(2,-3)在椭圆上,A、B是椭圆上位 于直线PQ两侧的动点,(i)若直线AB的斜率为
,求四边形APBQ面积的最大值;(ii)当A、B运动时,满足∠APQ=∠BPQ,试问直线AB的斜率是否为定值,请说明理由.

19．已知各项均为正数的数列
前
项的和为
，数列
的前
项的和为
，且

．

⑴证明数列
是等比数列，并写出通项公式；

⑵若
对
恒成立，求
的最小值；

⑶若
成等差数列，求正整数
的值．

20．已知函数
．

(1)若
是函数
的极值点，求曲线
在点
处的切线方程；

(2)若函数
在
上为单调增函数，求
的取值范围；

(3)设
为正实数，且
，求证：
．

2013 2014学年度第一学期

高三联考试卷 数学答案

一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上）[来源:学科网][来源:学科网ZXXK]

1．已知全集U=R,集合
{x|x≤2}

2．若
，其中
都是实数，
是虚数单位，则
= .

3．某校对全校男女学生共1600名进行健康调查，选用分层抽样法抽取一个容量为200的样本．已知女生比男生少抽了10人，则该校的女生人数应是 人．答案：760

4．集合A＝{2，3}，B＝{1，2，3}, 从A，B中各任意取一个数，则这两数之和等于4的概率是 

5．若“
”是“
”的充分不必要条件,则实数
的取值范围是

6．按右面的程序框图运行后,输出的
应为
40

7．已知等比数列
的公比
,且
成等差数列,则

的前8项和为 ． 255

8．长方体
中,
,则四面体
的体积为_____________.6

9．函数

的图像如图，则
= 1

10．已知平面向量
，
，若

，则
的值为

11．已知椭圆
和圆
,若
上存在点
,使得过点
引圆
的两条切线,切点分别为
,满足
,则椭圆
的离心率的取值范围是 ▲

12．定义域为
的偶函数
满
足对
,有
,且当
时,
,若函数
在
上至少有三个零点,则
的取值范围是

13．如图，点C为半圆的直径AB延长线上一点，AB=BC=2，

过动点P作半圆的切线PQ，若
,则

的面积的

最大值为

14．已知三次函数
在R上单调递增，则
的最小值为

二．解答题：(本大题共6个小题，共90分。解答
应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

15．已知函数
.

(1)求
的值;

(2)设
的值

【答案】

解: (1)
…………………………6分

(2)
…8分

…10分

…………12分

……………14分

16．如图,四边形ABCD为平行四边形，四边形ADEF是正方形，且BD⊥平面CDE，H是BE的中点,G是AE,DF的交点.

（1）求证:GH∥平面CDE；

（2）求证:面ADEF⊥面ABCD.

证明：⑴
是
的交点，∴
是
中点，又
是
的中点，

∴
中，
， ……………………2分

∵ABCD为平行四边形

∴AB∥CD

∴

， ……………………4分

又∵

∴
平面
…………………7分

⑵
，

所以
， ………………9分

又因为四边形
为正方形，

， ………………10分

，

，- ………………12分

.
…………………………14分

17．某企业有两个生产车间分别在
、
两个位置，
车间有100名员工，
车间有400名员工。现要在公路
上找一点
,修一条公路
，并在
处建一个食堂，使得所有员工均在此食堂用餐。已知
、
、
中任意两点间的距离均有
，设
，所有员工从车间到食堂步行的总路程为
.

（1）写出
关于
的函数表达式，并指出
的取值范围；

（2）问食堂
建在距离
多远时，可使总路程
最少

解：（1）在
中，
， ………………2分

，则
。…………………………4分

，其中
。 ……6分

（2）

。…………………8分

令
得
。

记
……………………10分

当
时，
，

当
时，
，

所以
在
上，单调递减，

在
上，单调递增，

所以当
，即
时，
取得最小值。 …………………………12分

此时，
，

答：当
时，可使总路程
最少。 …………………………14分

18．已知椭圆C的中点在原点,焦点在x轴上,离心率等于
,它的一个顶点恰好是抛物线
的焦点.[来源:学科网]

(1)求椭圆C的方程;

(2)点P(2,3),Q(2,-3)在椭圆上,A、B是椭圆上位 于直线PQ两侧的动点,

(i)若直线AB的斜率为
,求四边形APBQ面积的最大值;

(ii)当A、B运动时,满足∠APQ=∠BPQ,试问直线AB的斜率是否为定值,请说明理由.

解:(1)设椭圆
的方程为

则
. 由
,得

∴椭圆C的方程为

……………………………4分

(2)(i)解:设
,直线
的方程为
,

代入
,得

由
,解得

由韦达定理得
. ……………………………6分

四边形
的面积

∴当
,
……………………………9分

(ii)解:当
,则
、
的斜率之和为0,设直线
的
斜率为

则
的斜率为
,
的直线方程为

由

(1)代入(2)整理得
………11分

同理
的直线方程为
,
可得

∴
[来源 ……………14分

所以
的斜率为定值

……………………………16分

19．已知各项均为正数的数列
前
项的和为
，数列
的前
项的和为
，且[来源:Z,xx,k.Com]

．

⑴证明数列
是等比数列，并写出通项公式；

⑵若
对
恒成立，求
的最小值；

⑶若
成等差数列，求正整数
的值．

（1）因为
，其中
是数列
的前
项和，
是数列
的前
项和，且
，

当
时，由
，解得
，……………………………………2分

当
时，由
，解得
； …………………………4分

由
，知
，两式相减得

，即
，…………5分

亦即
，从而
，再次相减得

，又
，所以

所以数列
是首项为1，公比为
的等比数列， …………………………………7分

其通项公式为

． ……………………………………………………8分

（2）由（1）可得
，
， ……10分

若
对
恒成立，

只需
对
恒成立，

因为
对
恒成立，所以
,即
的最小值为3；…………12分

（3）若
成等差数列，其中
为正整数，则
成等差数列，

整理得
，…………………………………………………………………14分

当
时，等式右边为大于2的奇数，等式左边是偶数或1，等式不能成立，

所以满足条件的
值为
．……………………………………………16分

20．已知函数
．

(Ⅰ)若
是函数
的极值点，求曲线
在点
处的切线方程；

(Ⅱ)若函数
在
上为单调增函数，求
的取值范围；

(Ⅲ)设
为正实数，且
，求证：
．

解: （Ⅰ）

……2分

由题意知
，代入得
，经检验，符合题意。

从而切线斜率

，切点为
，

切线方程为
………4分

（Ⅱ）

因为
上为单调增函数，所以
上恒成立. ………6分

所以
的取值范围是
……………8分

（Ⅲ）要证
，只需证
，

即证
只需证

…………12分