江西省新余市2014届高三第二次模拟考试

数学理试题

本试卷分为试题卷和答题卷两部分，解答写在答题卷相应的位置．

全卷共１５０分，考试时间为１２０分钟

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求的.

1．复数
满足
（其中
为虚数单位），则
=

A．
B．
C．
D．

2. 已知集合
，
，则

A.
B.
C.
D.

3.已知某产品连续4个月的广告费用
千元与销售额
万元，经过对这些数据的处理，得到如下数据信息：①
；②广告费用
和销售额
之间具有较强的线性相关关系；③回归直线方程
中的
（用最小二乘法求得），那么，当广告费用为6千元时，可预测销售额约为

A.
万元 B.
万元 C.
万元 D.
万元

4.某四面体的三视图如图所示，正视图、侧视图、俯视图都

是边长为1的正方形，则此四面体的外接球的体积为

A．
B．

C．
D．

5．设实数
满足约束条件
，则
的取值范围是

A．
B．
C．
D．

6．设函数
，其中
，
为如图所示的程序框图中输出的结果，则
的展开式中常数项是

A．
B．
C．
D．

7．数列
的通项公式
，其前
项和为
，则
=

A．
B．
C．
D．

8．若直线
同时平分一个三角形的周长和面积，则称直线
为该三角形的“平分线”，已知△ABC三边之长分别为3，4，5，则△ABC的“平分线”的条数为

A．1　　 B．0　　　　 C．3　　　　 D． 2

9．给出以下三个命题：

①已知
是椭圆

上的一点，
、
是左、右两个焦点，若

的内切圆的半径为
，则此椭圆的离心率
；

②过双曲线

的右焦点F作斜率为
的直线交
于
两

点，若
,则该双曲线的离心率
=
；

③已知
、
，
是直线
上一动点，若以
、
为焦点且过点
的

双曲线的离心率为
，则
的取值范围是
.其中真命题的个数为

A．
个 B．
个 C．
个 D．
个

10．如图,不规则图形ABCD中：AB和CD 是线段，AD和BC是圆弧，直线
⊥AB于E，当
从左至右移动(与线段AB有公共点)时，把四边形ABCD分成两部分，设AE=
，左侧部分面积为
，则
关于
的大致图象为

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．

11．若
，则
的值为 ▲▲▲ .

12. 已知向量
与
的夹角为
,且
,若
,且
,则实数
的值为▲▲▲.

13．给定集合
，映射
满足以下条件：

①当
且
时，
；

②任取
，若
有k组解，则称映射
含k组幸运数。若映射

含3组幸运数；

则这样的映射的个数为▲▲▲.

14.设代数方程
有
个不同的根
，则

，比较两边
的系数得

；若已知展开式
对
成立，则由于
有无穷多个根：
于是

，

利用上述结论可得：
▲▲▲.

三、选做题：请在下列两题中任选一题作答．若两题都做，则按做的第一题评阅计分，本题共5分．

15． (1) （坐标系与参数方程选做题）以平面直角坐标系的原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，则曲线
（
为参数，
）上的点到曲

线
的最短距离是▲▲▲.

(2)（不等式选做题）若存在实数
使
成立，则实数
的取值范围

是▲▲▲.

四、解答题：本大题共6个题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

16．（本小题满分12分）

在(ABC中，角A、B、C的对边分别为
，且
.

（1）求sinB的值；

（2）若
成等差数列，且公差大于0，求
的值.

17（本小题满分12分）

某网络营销部门为了统计某市网友2013年11月11日在某淘宝店的网购情况，

随机抽查了该市当天
名网友的网购金额情况，得到如下数据统计表（如图（1））：

若网购金额超过
千元的顾客定义为“网购达人”，网购金额不超过
千元的顾客定

义为“非网购达人”，已知“非网购达人”与“网购达人”人数比恰好为
．

（1）试确定
，
，
，
的值；

（2）该营销部门为了进一步了解这
名网友的购物体验，从“非网购达人”、“网购达人”中用分层抽样的方法确定
人，若需从这
人中随机选取
人进行问卷调查．设
为选取的
人中“网购达人”的人数，求
的分布列和数学期望．

18．（本小题满分12分）

如图，多面体ABCDEFG中，FA⊥平面ABCD，FA∥BG∥DE，
，
，四边形ABCD是正方形，
.

（1）求证：GC∥平面ADEF；

（2）求二面角
余弦值.

19．（本题满分12分）

若数列
满足
，则称数列
为“平方递推数列”．已知数列
中，
，点
在函数
的图象上，其中
为正整数．

（1）证明数列
是“平方递推数列”，且数列
为等比数列；

（2）设（1）中“平方递推数列”的前
项积为
，即
，求
；

（3）在（2）的条件下，记
，求数列
的前
项和
，并求使
的
的最小值．

20.（本小题满分13分）

如图所示，椭圆C：

的一个焦点为 F(1,0)，且过点
.

(1)求椭圆C的方程；

(2)已知A、B为椭圆上的点，且直线AB垂直于
轴，直线
：
＝4与
轴交于点N，直线AF与BN交于点M.

(ⅰ)求证：点M恒在椭圆C上；

(ⅱ)求△AMN面积的最大值．

21．（本小题满分14分）

已知函数
，函数
的导函数
，且
，其中
为自然对数的底数．

（1）求
的极值；

（2）若
，使得不等式
成立，试求实数
的取值范围；

（3） 当
时，对于
，求证：
．

新余市2014年高三“二模”考试质量检测

数学 参考答案（理科）

一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的

1C．2A. 3B. 4D． 5C． 6B． 7C． 8A．9B． 10D．

二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．

11．
12.
13．
14.

三、选做题：请考生在下列两题中任选一题作答．若两题都做，则按做的第一题评阅计分，本题共5分．

15． (11
(2)

四、解答题：本大题共6个题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

16．（本小题满分12分）

解：（1）由4bsinA＝a，根据正弦定理得4sinBsinA＝sinA，

所以sinB＝． ……5分

（2）由已知和正弦定理以及（Ⅰ）得

sinA＋sinC＝． ①

设cosA－cosC＝x， ②

①2＋②2，得2－2cos(A＋C)＝＋x2． ③ ……7分

又a＜b＜c，A＜B＜C，所以0(＜B＜90(，cosA＞cosC，

故cos(A＋C)＝－cosB＝－． ……10分

代入③式得x2＝．

因此cosA－cosC＝． ……12分

17（本小题满分12分）

解：（1）根据题意，有
解得
…………2分

，
． ……………5分

（2）用分层抽样的方法，从中选取
人，则

其中“网购达人”有
人，“非网购达人”有
人． ……………6分

故
的可能取值为0，1，2，3；

，
，

，
． ……………10分

所以
的分布列为：
























． ……………12分

18．（本小题满分12分）

解：（1）∵FA∥BG，BC∥AD，

∴平面BGC∥平面ADEF

又
平面BGC，

∴GC∥平面ADEF. …………5分

（2）以A为原点，以射线AB、AD、AF分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的坐标系，

不妨令AB=AF =4,则BG=1，DE=3，

∴
，
，
，

，

令
，
，

则

不妨令
，则

又AC⊥平面BDEG，则平面BDEG的一个法向量为

设二面角
的大小为
，由图得
为锐角，

…………12分

19．（本题满分12分）

解证（1）由题意得：
，即
，则
是“平方递推数列”．

对
两边取对数得
，

所以数列
是以
为首项，
为公比的等比数列．………4分

（2）由（1）知

……………………………………8分

(3）

又
，即

又
，所以
． …………………………………12分

20.（本小题满分13分）

(1)解：由题设
，从而
，

所以椭圆C的方程为
………………………5分

(2)(i)证明：由题意得F(1,0)、N(4,0)． 设
，则
，
.

AF与BN的方程分别为：

.

设
，则有

由上得
……………………7分

由于

＝
＝1.

所以点M恒在椭圆C上． …………9分

(ⅱ)解：设AM的方程为
，代入
，得

设
、
，则有
，
.

＝
＝
. ………………………11分

令
，则
＝
因为函数
在
为增函数，

所以当
即
时，函数
有最小值4

△
面积的最大值为
. ……………13分

21．（本小题满分14分）解：(1) 函数
的定义域为
，

．

当
时，
，
在
上为增函数，
没有极值；……………1分

当
时，
，若
时，
；若
时，

存在极大值，且当
时，

综上可知：当
时，
没有极值；

当
时，
存在极大值，且当
时，
………4分

(2)