常州市教育学会学生学业水平监测

高三数学Ⅰ试题 2014年1月

参考公式：

样本数据
，
，… ，
的方差
，其中
=
．

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．

设集合
，
，则
= ▲ ．

若
（
，i为虚数单位），则
的值为 ▲ ．

已知双曲线
的一条渐近线方程为
，则a的值为 ▲ ．

某学校选修羽毛球课程的学生中，高一，高二年级分别有80名，50名．现用分层抽样的方法在这130名学生中抽取一个样本，已知在高一年级学生中抽取了24 名，则在高二年级学生中应抽取的人数为 ▲ ．

某市连续5天测得空气中PM2.5（直径小于或等于2.5微米的颗粒物）的数据（单位：
）分别为115，125，132，128，125，则该组数据的方差为 ▲ ．

函数
的最小正周期为 ▲ ．

已知5瓶饮料中有且仅有2瓶是果汁类饮料．从这5瓶饮料中随机取2瓶，则所取2瓶中至少有一瓶是果汁类饮料的概率为 ▲ ．

已知实数
，
满足约束条件
则
的最大值为 ▲ ．

若曲线
：
与曲线
：
在
处的切线互相垂直，则实数a的值为 ▲ ．

给出下列命题：

（1）若两个平面平行，那么其中一个平面内的直线一定平行于另一个平面；

（2）若两个平面平行，那么垂直于其中一个平面的直线一定垂直于另一个平面；

（3）若两个平面垂直，那么垂直于其中一个平面的直线一定平行于另一个平面；

（4）若两个平面垂直，那么其中一个平面内的直线一定垂直于另一个平面．

则其中所有真命题的序号为 ▲ ．

已知
，等比数列
中，
，
，若数列
的前2014项的和为0，则
的值为 ▲ ．

已知函数f(x)＝
若
，则实数k的取值范围为 ▲ ．

在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若
，
，则
▲ ．

在平面直角坐标系
中，已知圆O：
，点
，M，N为圆O上不同的两点，且满足
．若
，则
的最小值为 ▲ ．

二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

15．（本小题满分14分）

在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．设向量
，
．

（1）若
，
，求角A；

（2）若
，
，求
的值．

16．（本小题满分14分）

如图，在直三棱柱
中，AB⊥BC，E，F分别是
，
的中点．

（1）求证：EF∥平面ABC；

（2）求证：平面
⊥平面
；

（3）若
，求三棱锥

的体积．

17．（本小题满分14分）

设等差数列
的公差为d，前n项和为
，已知
，
．

（1）求数列
的通项公式；

（2）若
，
为互不相等的正整数，且等差数列
满足
，
，求数列
的前n项和
．

18．（本小题满分16分）

在平面直角坐标系
中，椭圆E:
的右准线为直线l，动直线

交椭圆于A，B两点，线段AB的中点为M，射线OM分别交椭圆及直线l于P，Q两点，如图．若A，B两点分别是椭圆E的右顶点，上顶点时，点
的纵坐标为
（其中
为椭圆的离心率），且
．

（1）求椭圆E的标准方程；

（2）如果OP是OM，OQ的等比中项，那么
是否为常数？若是，求出该常数；若不是，请说明理由．

19．（本小题满分16分）

几名大学毕业生合作开设
打印店，生产并销售某种
产品．已知该店每月生产的产品当月都能销售完，每件产品的生产成本为
元，该店的月总成本由两部分组成：第一部分是月销售产品的生产成本，第二部分是其它固定支出
元．假设该产品的月销售量
（件）与销售价格
（元/件）（
）之间满足如下关系：①当
时，
；②当
时，
．设该店月利润为
（元），月利润=月销售总额－月总成本．

（1）求
关于销售价格
的函数关系式；

（2）求该打印店月利润
的最大值及此时产品的销售价格．

20．（本小题满分16分）

已知函数
，
．

（1）当
时，求函数
的极大值；

（2）求函数
的单调区间；

（3）当
时，设函数
，若实数
满足：
且

，
，求证：
．

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数学Ⅱ（附加题） 2014年1月

21．【选做题】在A、B、C、D 四小题中只能选做两题，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

A．选修4—1：几何证明选讲

如图，等腰梯形ABCD内接于⊙
，AB∥CD．过点A作⊙
的切线交CD的延长线于点E．

求证：∠DAE=∠BAC.

B．选修4—2：矩阵与变换

已知直线
在矩阵

对应的变换作用下得到直线
，若直线
过点（1,1），求实数a的值．

C．选修4—4：坐标系与参数方程

在极坐标系中，已知点
，直线
，求点P到直线l的距离．

D．选修4—5：不等式选讲

已知
，
，求证：
．

【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

22． (本小题满分10分)

如图，三棱锥P－ABC中，已知平面PAB⊥平面ABC，AC⊥BC，AC=BC=2a，点O，D分别是AB，PB的中点，PO⊥AB，连结CD．

（1）若
，求异面直线PA与CD所成角的余弦

值的大小；

（2）若二面角A－PB－C的余弦值的大小为
，求

PA．

23．（本小题满分10分）

设集合A，B是非空集合M的两个不同子集，满足：A不是B的子集，且B也不是A

的子集．

（1）若M=
，直接写出所有不同的有序集合对(A,B)的个数；

（2）若M=
，求所有不同的有序集合对(A,B)的个数．

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高三数学Ⅰ试题参考答案及评分标准

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分

1．
2．
3．
4． 15 5．31.6（写成
也对） 6．
7．

8．
9．
10．（1）（2） 11．
12．
13．4 14．

二、解答题：本大题共6小题，共计90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

15．解：（1）∵
，∴
．由正弦定理，得
．

化简，得
． ………………………………………………2分

∵
，∴
或
，

从而
（舍）或
．∴
． ………………………………4分

在Rt△ABC中，
，
． …………………………………6分

（2）∵
，∴
．

由正弦定理，得
，从而
．

∵
，∴
． 从而
． ……………8分

∵
，
，∴
，
． ……………………10分

∵
，∴
，从而
，B为锐角，
． ………12分

∴

=
． …………………………………14分

16．证明：（1）连结
．

∵直三棱柱
中，
是矩形，

∴点F在
上，且为
的中点．

在△
中，∵E，F分别是
，
的中点， ∴EF∥BC． ……………2分

又∵BC
平面ABC， EF
平面ABC，所以EF∥平面ABC． ………………4分

（2）∵直三棱柱
中，
平面ABC，∴
BC．

∵EF∥BC，AB⊥BC，∴AB⊥EF，
EF． ………………………………6分

∵
，∴EF⊥平面
． ………………………………8分

∵EF
平面AEF，∴平面AEF⊥平面
． ………………………………10分

（3）
………………………………12分

=
． ………………………………14分

17．解：（1）由已知，得
解得
…………………4分

∴
． ……………………………………………………………6分

（2）
，
为正整数， 由（1）得
，
． …………………8分

进一步由已知，得
，
． ………………………………………10分

∵
是等差数列，
，∴
的公差
． ………………12分

由
，得
．

∴
． …………………………………………14分

18． 解：当A，B两点分别是椭圆E的右顶点和上顶点时，则

，
，
．

∵
，∴由O，M，Q三点共线，得
，化简，得
．………2分

∵
，∴
，化简，得
．

由
解得
…………………………………………4分

（1）椭圆E的标准方程为
． …………………………………………6分

（2）把
，代入
，得

． ……………………………………………8分

当△
，
时，
，
，

从而点
． ……………………………………………10分

所以直线OM的方程
．

由
得
． ……………………………………………12分

∵OP是OM，OQ的等比中项，∴
，

从而
． ……………………………………………14分

由
，得
，从而
，满足△
． ……………15分

∴
为常数
． ………………………………………………………………16分

19．解：（1）当
时，
，代入
，

解得
． ………………………………………………………………2分

∴

即
……………4分

（注：写到上一步，不扣分．）

（2）设
，
，
，则

．

令
，解得
（舍去），
．……………7分

当
时，
，
单调递增；

当
时，
，
单调递减． … ………………………………10分

∵
，
，
，∴
的最大值为
．………12分

当
时，
单调递减，

故此时
的最大值为
． … ………………………………14分

综上所述，当
时，月利润
有最大值
元． ……………………15分

答：该打印店店月利润最大为
元，此时产品的销售价格为
元/件． ……16分

20．解：函数
的定义域为
．

（1）当
时，
，
，令
得
． ………1分

列表：

x











+

0







 ↗

极大值

 ↘



 所以
的极大值为
． …………………………………………3分

(2)
．

令
，得
，记
．

（ⅰ）当
时，
，所以
单调减区间为
； …………5分

（ⅱ）当
时，由
得
，

①若
，则
，

由
，得
，
；由
，得
．

所以，
的单调减区间为
，
，单调增区间为
； …………………………………………………………7分

②若
，由（1）知
单调增区间为
，单调减区间为
；

③若
，则
，

由
，得
；由
，得
．

的单调减区间为
，单调增区间为
． ……9分

综上所述：当
时，
的单调减区间为
；

当
时，
的单调减区间为
，
，单调增区间为
；

当
时，
单调减区间为
，单调增区间为
． ………………………………………………………10分

（3）
（
）．

由
得
．

∵
， ∴
(舍)，或
．

∵
，∴
． …………………………………12分

由
得，

因为
，

所以（*）式可化为
，

即
． ………………………………………………14分

令
，则
，整理，得
，

从而
，即
．

记
．
，令
得
（舍），
，列表：











+





 ↘

↗



所以，
在
单调减，在
单调增，又因为
，所以
，从而
． ………………………………………………16分

常州市教育学会学生学业水平监测

高三数学Ⅱ（附加题） 参考答案

21、【选做题】在A、B、C、D 四小题中只能选做两题，每小题10分，共计20分．

A．选修4—1：几何证明选讲

证明：∵ABCD是等腰梯形，AB∥CD， ∴AD=BC． 从而
．

∴∠ACD=∠BAC. ……………………………………………………4分

∵AE为圆的切线，∴∠EAD=∠ACD. …………………………………8分

∴∠DAE=∠BAC. ……………………………………………………10分

B．选修4—2：矩阵与变换

解：设
为直线
上任意一点，在矩阵
对应的变换下变为直线
上点
，则

，

化简，得
……………………………………………4分

代入
，整理，得
． ……………………………8分

将点（1,1）代入上述方程，解得a=-1． ……………………………10分

C．选修4—4：坐标系与参数方程

解：点P的直角坐标为
， …………………………………………………4分

直线l的普通方程为
， ………………………………………8分

从而点P到直线l的距离为
． …………………………10分

D．选修4—5：不等式选讲

证明：左边-右边=
………4分

=
， ………………………………………………………6分

∵
，
，

∴
． ………………………………………………8分

从而左边-右边≤0，

∴
． ………………………………………………10分

【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．

22．解：连结OC．

∵平面PAB⊥平面ABC，PO⊥AB，∴PO⊥平面ABC．从而PO⊥AB，PO⊥OC．

∵AC=BC，点O是AB的中点，∴OC⊥AB．且
． ……………2分

如图，建立空间直角坐标系
．

（1）
，
．

，
，
，

，
． …………4分

从而
，
．

∵
，

∴异面直线PA与CD所成角的余弦值的大小为
． ……………………………6分

（2）设
，则
．∵ PO⊥OC，OC⊥AB，∴OC⊥平面PAB．

从而
是平面PAB的一个法向量．

不妨设平面PBC的一个法向量为
，

∵
，
，
∴

不妨令x=1，则y=1，
，则
． ………………………8分

由已知，得
，化简，得
．

∴
． …………………………………10分

23．解：（1）110； ………………………………………………………………3分

（2）集合
有
个子集，不同的有序集合对(A,B)有
个．

若


，并设
中含有
个元素，则满足


的有序

集合对 (A,B) 有
个 ． …………………6分

同理，满足


的有序集合对(A,B)有
个． …………………8分

故满足条件的有序集合对(A,B)的个数为
………………………………………………10分