扬州中学高三数学开学练习

2014.2

一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共计70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上）

1. 若
，则
的值是 ；

程序运行结果是

2.右图程序运行结果是 ；

3.已知等差数列{
}中，
，若
且
，则= ；

4．对于函数
周期为__________.

5. 已知
，则
的概率为________．

6.设直线
与圆
交于
两点,若圆
的圆心在线段
上,且圆
与圆
相切,切点在圆
的劣弧
上,则圆
的半径的最大值是 ；

7.用铁皮制作一个无盖的圆锥形容器，已知该圆锥的高为10cm，体积为
.则制作该容器需要铁皮面积为
（衔接部分忽略不计，
取1.414，取3.14，结果保留整数）

8. 已知定义在R上的奇函数
，满足
,且在区间
上是增函数，

若方程
在区间
上有四个不同的根
,则
．

9．已知函数
在点（1,2）处的切线与
的图像有三个公共点，则的取值范围是 ；

10．已知函数f（x）=|x2－2|，若f（a）≥f（b），且0≤a≤b，则满足条件的点（a，b）所围成区域的面积为 ；

11．已知Sn为数列
的前n项的和，
,则
____

12. 设
,
分别是双曲线
的左、右焦点,若双曲线左支上存在一点
,使
,
为坐标原点,且
,则该双曲线的离心率为 ；

13. 在锐角三角形ABC，A、B、C的对边分别为a、b、c，
，

则
=_________；

14．设
为不等边△ABC的外接圆，△ABC内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，P是△ABC所在平面内的一点，且满足
(P与A不重合），Q为△ABC所在平面外一点，QA=QB= QC,有下列命题：

①若QA=QP，
。，则点Q在平面ABC上的射影恰在直线AP上;

②若QA=QP,则
；

③若QA>QP,
，则
；

④若QA>QP，则P在△ABC内部的概率为
分别表示△ABC与
的面积)．

其中不正确的命题有__________（写出所有不正确命题的序号）．

二、解答题（本大题共6道题，共计90分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）

15.(本小题满分14分)

设向量a
，b
，其中
．

（1）若
，求
的值；

（2）设向量c
，且a + b = c，求
的值．

.

16.（本小题满分14分）

如图所示，在边长为12的正方形
中，点
在线段
上，且
，
，作
//
，分别交
，
于点
，，作
//
，分别交
，
于点
，
，将该正方形沿
，
折叠，使得
与
重合，构成如图2所示的三棱柱
．（Ⅰ）求证：
平面
；（Ⅱ）求四棱锥
的体积；

17.（本小题满分15分）已知
，函数
.

（Ⅰ）若
在
处取得极值，求函数
的单调区间；

（Ⅱ）求函数
在区间
上的最大值
.（注：
）

18.（本小题满分15分）

某单位拟建一个扇环面形状的花坛(如图所示)，该扇环面是由以点为圆心的两个同心圆弧和延长后通过点的两条直线段围成．按设计要求扇环面的周长为30米，其中大圆弧所在圆的半径为10米．设小圆弧所在圆的半径为米，圆心角为（弧度）．

（1）求关于的函数关系式；

（2）已知在花坛的边缘(实线部分)进行装饰时，直线部分的装饰费用为4元/米，弧线部分的装饰费用为9元/米．设花坛的面积与装饰总费用的比为，求关于的函数关系式，并求出为何值时，取得最大值？

19.（本小题满分16分）

已知
为椭圆C的左右焦点，且点
在椭圆C上

求椭圆C的方程；

过F1的直线l交椭圆C于A,B两点，则三角形F2AB的内切圆的面积是否存在最大值？若存在，求其最大值及此时的直线方程；若不存在，请说明理由。

20.（本小题满分16分）

设数列
的各项均为正数，其前n项的和为Sn,,对于任意正整数m,n,
恒成立

若
求
及数列
的通项公式

若
，求证：数列
是等比数列

第二部分（加试部分）

1.已知矩阵

，其中
，若点
在矩阵
的变换下得到点
（1）求实数a的值；

（2）求矩阵
的特征值及其对应的特征向量.

2.极坐标系与直角坐标系xOy取相同的长度单位，以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴．已知直线l的参数方程为
（t为参数）．曲线C的极坐标方程为ρ
＝8cosθ．

（1）求曲线C的直角坐标方程；

（2）设直线l与曲线C交于A，B两点，与x轴的交点为F，求
＋
的值．

3.在某学校组织的一次蓝球定点投蓝训练中，规定每人最多投3次；在A处每投进一球得3分，在B处每投进一球得2分；如果前两次得分之和超过3分即停止投篮，否则投三次。某同学在A处的命中率
为0.25，在B处的命中率为
.该同学选择先在A处投一球，以后都在B处投，用
表示该同学投篮训练结束后所得的总分，其分布列为

0

2

3

4

5





0．03












求
的值；

求随机变量
的数学期量
；

试比较该同学选择都在B处投篮得分超过3分与选择上述方式投篮得分超过3分的概率的大小。

4.设m是给定的正整数，有序数组
中

(1)求满足“对任意的
，都有
”的有序数组
的个数A;

(2)若对任意的
，都有
成立，求满足“存在
，使得
”的有序数组
的个数B;

高三下学期开学考试答题纸 2014.2.

成绩

一、填空题

1. 2. 3. 4. 5.

6. 7. 8. 9. 10.

11. 12. 13. 14.

二、解答题

15.

16.

17.

18.

（注：请将第19题、20题写在答题纸的反面）

高三下学期开学考试附加题答题纸 2014.2

1、

2、

3、

4、

开学考试答案 2014.2

一、填空题

1. 2； 2. 34； 3. 10； 4.
； 5.
； 6. 1； 7. 444； 8.-8.； 9.
；10
.； 11.
； 12.
； 13. 4； 14. ①③④

二、解答题

15. 解：（1）因为a
，b
，所以
．

因为
，所以a·b = 0．

于是
，故
．

（2）因为a + b
，

所以

由此得
，由
，得
，

又
，故
．

代入
，得
．

而
，所以
．

16. （Ⅰ）证明：在正方形
中，因为
，

所以三棱柱
的底面三角形
的边
．

因为
，
，

所以
，所以
．

因为四边形
为正方形，
，

所以
，而
，

所以
平面
．

（Ⅱ）解：因为
平面
，

所以
为四棱锥
的高．

因为四边形
为直角梯形，且
，
，

所以梯形
的面积为
．

所以四棱锥
的体积
．

17. （Ⅰ）
， ………………………………… 2分

由题意知
时，
，即：
，

∴
…………………………………… 3分

∴
，

令
，可得

令
，可得

令
，可得

∴
在
上是增函数，在
上是减函数，…… 6分

（Ⅱ）
，

∵
， ∴
，

∴
， ………………………………………… 7分

① 若
，则
恒成立，此时
在
上是增函数，

……………………………… 9分

② 若
，则
恒成立，此时
在
上是减函数，

……………………… 11分

③ 若
，则令
可得

∵
是减函数，∴当
时
，当
时

∴
在

上左增右减，

∴
， ………………………………… 13分

综上：

18. (1)设扇环的圆心角为(，则
，所以
，

(2) 花坛的面积为
．

装饰总费用为
，

所以花坛的面积与装饰总费用的比
，

令
，

则
，当且仅当t=18时取等号，此时
．

答：当
时，花坛的面积与装饰总费用的比最大．

(注：对也可以通过求导，研究单调性求最值，同样给分)

19. .解：（Ⅰ）椭圆
的方程为

（2）当直线
斜率存在时，设直线
：
，

由
得
，

设
，

，

所以

，

设内切圆半径为，因为
的周长为
（定值），

，

所以当
的面积最大