江门市2014年普通高中高三调研测试

数 学（理科）试 题

本试卷共4页，21题，满分150分，测试用时120分钟．

参考公式：锥体的体积公式
，其中
是锥体的底面积，
是锥体的高．

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

⒈已知集合
，
，则

A．
B．
C．
D．

⒉若复数
是纯虚数（是虚数单位），则实数

A．
B．
C．
D．
或

⒊已知平面向量
，
，若
，则实数

A．
B．
C．
D．

⒋已知点
，
，则线段
的垂直平分线的方程是

A．
B．
C．
D．

⒌设、
，若
，则下列不等式中正确的是

A．
B．
C．
D．

⒍如图1，、分别是正方体
中
、
上的动点（不含端点），则四边形
的俯视图可能是

A． B． C． D．

⒎已知函数
，则该函数是

A．偶函数，且单调递增 B．偶函数，且单调递减

C．奇函数，且单调递增 D．奇函数，且单调递减

⒏平面直角坐标系中，抛物线
与函数
图象的交点个数为

A．
B． C． D．

一、选择题 BAAC DBCD

二、填空题

⒐＞ ⒑
⒒
⒓
⒔②③（对1个3分，错1个
分）

⒕
⒖

二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．

(一)必做题（9～13题）

⒐

（填“”或 “” ）．

⒑在
中，
，
，
，则
．

⒒若双曲线的渐近线方程为
，它的一个焦点是
，则双曲线方程是 ．

⒓若，满足约束条件
，则
的最大值是 ．

⒔若、
是不重合的平面，、
、是互不相同的空间直线，则下列命题中为真命题的是 ．（写出所有真命题的序号）

① 若
，
，则

② 若
，
，则

③ 若
，
，则

④ 若
，
且
，
，则

(二)选做题（14、15题，考生只能从中选做一题）

⒕直线
和抛物线
所围成封闭图形的面积
．

⒖在数列
中，
，
（
），试归纳出这个数列的通项
．

三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．

⒗（本小题满分12分）

已知
，
．

⑴ 求
的最小正周期；

⑵ 设、
，
，
，求
的值．

⒘（本小题满分13分）

如图2，直三棱柱
中，
，
，棱
，
、
分别是
、
的中点．

⑴ 求证：
平面
；

⑵ 求直线
与平面
所成角
的正弦值．

⒙（本小题满分13分）

为配制一种药液，进行了三次稀释，先在体积为
的桶中盛满纯药液，第一次将桶中药液倒出
升后用水补满，搅拌均匀第二次倒出
升后用水补满，然后第三次倒出
升后用水补满．

⑴ 求第一次稀释后桶中药液的含量；

⑵ 若第二次稀释后桶中药液含量不超过容积的60%，求
的取值范围；

⑶ 在第⑵问的条件下，第三次稀释后桶中的药液能否达到容积的50%，为什么？

⒚（本小题满分14分）

如图3，椭圆的中心在坐标原点
，过右焦点
且垂直于椭圆对称轴的弦
的长为3．

⑴ 求椭圆的方程；

⑵ 直线
经过点
交椭圆于、
两点，
，求直线
的方程．

⒛（本小题满分14分）

已知正项等比数列
（
），首项
，前项和为
，且
、
、
成等差数列．

⑴ 求数列
的通项公式；

⑵ 求数列
的前项和
．

21（本小题满分14分）

已知函数
，曲线
经过点
，且在点处的切线为
：
．

⑴ 求常数，
的值；

⑵ 求证：曲线
和直线
只有一个公共点；

⑶ 是否存在常数
，使得
，
恒成立？若存在，求常数
的取值范围；若不存在，简要说明理由．

评分参考

一、选择题 BAAC DBCD

二、填空题

⒐＞ ⒑
⒒
⒓
⒔②③（对1个3分，错1个
分）

⒕
⒖

三、解答题

⒗解：⑴
……2分，
……4分，

的最小正周期
……5分

⑵因为
，
，
……6分，

所以
，
……7分，

，
，
……8分，

因为
，所以
，
……9分，

所以
……10分，

……11分，

……12分。

（或者在第7分之后：
……8分，
……9分，

因为
，
，所以
……10分，

所以
……11分，

因为
，
，所以
…12分）

⒘证明与求解：⑴
，
底面，

……1分，
，
……2分，因为
，
，
，所以
平面
……3分，
……4分，因为
，所以
平面
……5分

⑵（方法一）以C为原点，CA、CB、CC1在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系……6分，

则
、
、
……7分，

、
……8分，

、
、
……9分，

设平面
的一个法向为
，则
……10分，

即
，取
……11分，

所以
……12分，
……13分。

（方法二）
，
，
……6分，所以
，
，
……7分，由⑴知
，
，所以
平面
……8分。

延长
到
，延长
到
，使
，连接
、
……9分，在
中，
，
，
……10分，

……11分，

是平面
的法向量，由所作知
，从而
，所以
……13分。

其他方法，例如将直三棱柱补成长方体，可参照给分。

⒙解：⑴第一次稀释后桶中药液为
（升）……2分

⑵第2次倒出后桶中剩余农药
升……3分，依题意

……5分，即
……6分，

解得
……7分，又
，所以
……8分。

⑵不能达到
……9分，再次倒出10升后用水补满，桶中的农药占容积的比率不超过
……10分，因为
，

所以
……12分，

答：（略）……13分。

⒚解：⑴设椭圆的方程为
（
）……1分

依题意，
……2分，
……4分

解得
，
……6分，椭圆的方程为
……7分

⑵（方法一）连接ON，由椭圆的对称性
……8分，因为
，所以
……9分，依题意，
……10分，所以
……11分，
……13分，所以直线
的方程为
……14分。

（方法二）设直线
的方程为
……8分，解
……9分，得
，
……10分，依题意，
……11分，由
得

=
……12分，解得
……13分，所求直线
的方程为
……14分。

⒛解：⑴依题意，设
……1分，
、
、
成等差数列，所以
……2分，即

，

化简得
……4分，从而
，解得
……5分，

因为
（
）是单调数列，所以
，
……6分

⑵由⑴知
……7分，

……8分，

……9分，

设
，则
……11分，

两式相减得
……13分，

所以
……14分。

21解：⑴
……1分，

依题意，
即
……3分，

解得
……5分。

⑵记
，

则
……6分，

当
时，
；当
时，
；当
时，
……8分，所以
，等号当且仅当
时成立，即
，等号当且仅当
时成立，曲线
和直线
只有一个公共点……9分。

⑶
时，
，所以
恒成立当且仅当

……10分，

记
，
，
……11分，

由
得
（舍去），
……12分

当
时，
；当
时，
……13分，

所以
在区间
上的最大值为
，常数
的取值范围为
……14分．