中山市华侨中学 2014届高三第二次模拟考试

理科数学 试题

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的．

1．是虚数单位，复数
（　　）．

Ａ．
　　　Ｂ．
　　　Ｃ．
　　　Ｄ．

2.由直线
与曲线
所围成的封闭图形的面积为（ ）

A．
B．1 C．
D．

3.若loga2<0(a>0，且a≠1)，则函数f(x)＝loga(x＋1)的图象大致是(　　)

4.设变量
满足
，则
的最大值和最小值分别为（ ）

A． 1， 1 B． 2， 2 C． 1， 2 D．2， 1[

已知
是函数f(x)=2x+
的一个零点.若
∈（1，
），
∈（
，+），则

（A）f(
)＜0，f(
)＜0 （B）f(
)＜0，f(
)＞0

（C）f(
)＞0，f(
)＜0 （D）f(
)＞0，f(
)＞0

7.已知函数f(x)＝x2eax，其中a为常数，e为自然对数的底数，若f(x)在(2，＋∞)上为减函数，则a的取值范围为(　　)

A．(－∞，－1) B．(－∞，0)

C．(－∞，1) D．(－∞，2)

8．已知函数y＝f(x－1)的图象关于点(1，0)对称，且当x∈(－∞，0)时，f(x)＋xf′(x) <0成立(其中f′(x)是f(x)的导函数)，若a＝(30.3)·f(30.3)，b＝(logπ3)·f(logπ3)，c＝·f，则a，b，c的大小关系是(　　)

A．a>b>c B．c>a>b C．c>b>a D．a>c>b

二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．

（一）必做题（9～13题）

10. 在
展开式中含
的项的系数

11．已知函数
有极大值和极小值，则实数a的取值范围是

12.已知函数f(x)=|lgx|.若0

13.下列命题正确的是

①.点
为函数
的一个对称中心；

③．

④．“
”的充要条件是“
或
（
）”

错误！未找到引用源。（二）选做题（14、15题，考生只能从中选做一题）

14．（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，已知直线
把曲线

所围成的区域分成面积相等的两部分，则常数a的值是 ．

15．（几何证明选讲选做题）

如图，已知
是⊙
的切线，是切点，直线
交

⊙
于、
两点，是
的中点，连结
并延长

交⊙
于点．若
，
，

则
= ．

三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．

16..（本小题12分）命题P:实数满足
，其中
；命题Q：实数满足
或
，且
是
的必要条件，求的取值范围

17.（本小题满分12分）已知函数
在轴上的截距为1，且曲线上一点

处的切线斜率为
.（1）曲线在P点处的切线方程；

（2）求函数
的极大值和极小值

18、（本小题满分14分）设cos（α－
）=－
，sin（
－β）=
，且
＜α＜π，0＜β＜
，求cos（α+β）.

19.（本小题14分）已知函数
.

（1）若点
(
)为函数
与
的图象的公共点，试求实数的值；

（2）设
是函数
的图象的一条对称轴，求
的值;

(3)求函数
的值域。

20.（本小题14分）已知函数

(Ⅰ)若函数
的最小值是
,且
,
,

求
)的值；

(Ⅱ)若
，且
在区间(0,1]上恒成立，求
的取值范围。

21.（本小题14分）定义
，

（I）令函数
，写出函数
的定义域；

（II）令函数
的图象为曲线C，若存在实数b使得曲线C在
处有斜率为－8的切线，求实数的取值范围；

（III）当
且
时，求证
．

中山市华侨中学 2014届高三第二次模拟考试

数学（理科）参考答案及评分标准

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．

题号

1

2

3

4

5

6

7

8



答案

A

D

B

B

D

B

A

B



二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．

（一）必做题（9～13题）

9.
10.
11.
12.①②④

13.
（二）选做题（14、15题，考生只能从中选做一题）

14 .
15. 15

16..命题P:实数满足
，其中
；命题Q：实数满足
或
，且
是
的必要条件，求的取值范围

解：P:设A=
=
---------3分

Q: B=
=
---------7分

：

：
，又
是
的必要条件

--------------11分

即的取值范围是
-------------12分

17（本小题满分14分）设cos（α－
）=－
，sin（
－β）=
，且
＜α＜π，0＜β＜
，求cos（α+β）.

解：∵
＜α＜π，0＜β＜
，∴
＜α－
＜π，－
＜
－β＜
.

故由cos（α－
）=－
，得sin（α－
）=
。

由sin（
－β）=
，得cos（
－β）=
.

∴cos（
）=cos［（α－
）－（
－β）］=…=
.

∴cos（α+β）=2cos2
－1=…=－
.

18.（本小题满分13分）

解：（1）因为函数
在轴上的截距为1，所以
---------1分

又
，所以

---------4分

所以
，故点
，所以切线方程为

即
----------6分

（2）由题意可得，令
得
列表如下：----------8分















+

0

-

0

+





增区间

极大

减区间

极小

增区间





所以函数的极大值为
， 极小值为
.--------------13分

(2)∵

∴
∴
=
---------8分

(3) ∵

∴

--------9分

----------11分

∵
∴

∴
∴
.

即函数
的值域为
. -------14分

20(本小题满分14分)

解：（1）由已知：c=1,a-b+c=0,-b/2a=-1,,a=1,b=2,f(x)=(x+1)2

……………(4分)

F(2)+F(-2)=(2+1)2+[-(-2+1)2]=8 ……………(6分)

（2）
原命题等价于
在区间(0,1]上恒成立

即
且
在区间(0,1]上恒成立。又
的最小值为0，
的最大值为-2，∴
……(14分)）

解：（I）
，即
…………（2分）

得函数
的定义域是
， ……………………（4分）

（II）

设曲线
处有斜率为－8的切线，

又由题设

∴存在实数b使得
有解， ……………………（6分）

由①得
代入③得
，

有解， ……………………（8分）

方法1：
，因为
，所以
，

当
时，存在实数，使得曲线C在
处有斜率为－8的切线

………………（10分）

方法2：得
，

………………（10分）

方法3：是
的补集，即
………………（10分）

（III）令

又令

，

单调递减. ……………………（12）分

单调递减，

，

………………（14分）