2013-2014学年度第一学期高三调研测试

理科数学参考答案及评分标准

一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．）

题号

1

2

3

4

5

6

7

8



答案

A

B

D

A

D

B

B

C



二、填空题（本大题共7小题，作答6小题，每小题5分，共30分．）

9.
10. 11.
12.
13.
（2分）；
（3分）

14.
15.

三、解答题（本大题共6小题，共80分.）

16.（本小题满分12分）

解：（1）
…………2分

. …………4分

的最小正周期为
. …………6分

（2）由
，得
，则
. …………8分

在
中，
． …………9分

又因为
，由正弦定理可得
. …………12分

17．（本小题满分12分）

解：（1）依题意，甲、乙两组的学生人数之比为
， …………1分

所以，按照分层抽样的方法，从甲组抽取的学生人数为
；从乙组抽取的学生人数为
． …………2分

设“从甲组抽取的同学中恰有名女同学”为事件， …………3分

则
，

故从甲组抽取的同学中恰有名女同学的概率为
． …………5分

（2）随机变量
的所有取值为
． …………6分

…………9分

所以，随机变量
的分布列为:























 …………10分

数学期望
． …………12分

18. （本小题满分14分）

证明：⑴ 在
中，
，则
，

∴
⊥
. …………2分

∵
⊥平面
，∴
⊥
.

又
平面
，
平面
，且
，∴
⊥平面
. ……4分

又
平面
，∴
⊥
. …………6分

解：⑵ 如图，过
作
于
，连接
、
．…………7分

∵
⊥平面
，
平面
，

∴平面
⊥平面
.

又平面

平面
，
平面
，

⊥
，∴
⊥平面
，即
⊥
. ………9分

又
，
，
平面
，且
，

∴
⊥平面
，∴
⊥
，
⊥
，

∴
为二面角
的平面角. …………11分

∵
，且
为等腰梯形，∴
，
，

∴
，则
， …………12分

则
. …………13分

在
中，
，

∴二面角
的余弦值为
. …………14分

另解：向量法

如图建立空间直角坐标系
.

由已知，
，∴
.

∵等腰梯形
，
，
，∴
，

∴
，
，
，
， …………8分

∴
，
，
，
.

设平面
的法向量为
，

则

令
，∴
，即
.……10分

设平面
的法向量为
，

则

令
，∴
，即
. ………12分

设二面角
的大小为
，由图可知
是钝角，

∴
，

∴二面角
的余弦值为
. …………14分

19．（本小题满分14分）

解：（1）∵
，
，
，

∴
，
，
， …………3分

∴
. …………4分

（2）(证明：∵
，使
，

∴
，使得
， …………5分

即
，使得
，其中
，

∴
与

同为非负数或同为负数． …………6分

∴
，

即
. …………9分

(解：不一定
，使得
． …………10分

反例如下：取
，
，
， …………12分

，
，
，则

∵
，
，

∴不存在
，使得
. …………14分

20．（本小题满分14分）

解：（1）由已知，
的定义域为
. …………1分

当
时，
，∴

. …………3分

令
，得
，令
，得
， …………5分

∴函数
的单调递增区间为
，单调递减区间为
. …………6分

（2）设
，则“对于任意
，不等式
恒成立”等价于“对于任意
，不等式
恒成立”.

而
， …………7分

设
.

∵
，∴
. …………8分

①当
时，
，
，即
在
上单调递增，要使不等式
对任意
恒成立，即
，∴
. …………9分

又
，∴
. …………10分

②当
时，
，
，即
在
上单调递减，要使不等式
对任意
恒成立，即
，∴
.

又
，∴
. …………11分

③当
时，由
，得

.

当
时，
，∴
；

当
时，
，∴
，即
在
上单调递减，在
上单调递增，要使不等式
对任意
恒成立，即
.

又
，
，且
，
，
，

∴

，

，即
，

所以
时符合条件. …………13分

综上所述，满足条件的的取值范围是
. …………14分

21．（本小题满分14分）

解 ：⑴ 由
①

得
（
）② …………2分

由①－②，得
，即
（
）.

由
，可得
，

所以数列
为以
为首项，
为公比的等比数列， …………4分

即

. …………6分

证明：⑵ 由


， …………7分

得：

.

因此，要证
，只要证
. ……8分

下面用数学归纳法先证明

. …………9分

① 当
，不等式左边
，右边
，∴不等式成立； …………10分

② 设
时，不等式成立，

即