江门市2014届普通高中高三调研测试

数 学（文科）试 题

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

⒈是虚数单位，

A． B．
C． D．

⒉已知函数
的定义域为
，
，则

A．
B．
C．
D．

⒊已知平面向量
，
，若
，则

A． B．
C． D．

⒋ 下列函数中，偶函数是

A．
B．
C．
D．

⒌、
，“
”是“
”成立的

A．充要条件 B．充分非必要条件

C．必要非充分条件 D．非充分非必要条件

⒍如图1，四棱锥
的侧面
水平放置，

平面
，
平面
，
，

且
，则四棱锥
的正视图是

A． B． C． D．

⒎已知平面、
和直线，若
，
，则

A．
B．
C．
D．
或

⒏已知数列
（
）的前项和
，则

A． B．
C．
D．

⒐在锐角
中，若
，则
的取值范围是

A．
B．
C．
D．

⒑在平面向量上定义运算
：
。任意
，
，
，下列关于向量模长的等式中，不成立的是

A．
B．

C．
D．

二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分．

(一)必做题（11～13题）

⒒

（填“”或“” ）．

⒓已知命题：有的梯形是等腰梯形。则
： ．

⒔经过点
且与圆
相切的直线的方程是 ．

(二)选做题（14、15题，考生只能从中选做一题）

⒕双曲线
上一点到它的一个焦点的距离等于4，那么点到另一个焦点的距离等于 ．

⒖如图2给出了3层的三角形，图中所有点的个数
。

按其规律再画下去，可以得到层的三角形，
．

三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字

说明、证明过程和演算步骤．

⒗（本小题满分12分）已知函数

，
．⑴ 求
的最小正周期；

⑵ 求
的最大值，并求
取最大值时自变量

的集合．

⒘（本小题满分14分）如图3，三棱柱ABC-A1B1C1中，

侧棱垂直底面，AC⊥BC，D是棱AA1的中点，

AA1=2AC=2BC=2（
）．⑴ 证明：C1D⊥平面BDC；

⑵ 求三棱锥C－BC1D的体积．

⒙（本小题满分14分）已知数列
的首项
，
，点
都在直线
上．⑴ 证明：数列
是等比数列；⑵ 求数列
的通项公式；⑶ 求数列
的前项和
．

⒚（本小题满分12分）甲、乙两校计划周末组织学生参加敬老活动，甲校每位同学往返车费是5元，每人可为3位老人服务，乙校每位同学往返车费是3元，每人可为5位老人服务。两校都有学生参加，甲校参加活动的学生比乙校至少多1人，且两校同学往返总车费不超过45元。如何安排甲、乙两校参加活动的人数，才能使受到服务的老人最多？受到服务的老人最多是多少？

⒛（本小题满分14分）已知抛物线
：
的焦点在椭圆
：
（
）上，直线
与抛物线
相切于点
，并经过椭圆
的焦点
．

⑴ 求椭圆
的方程；

⑵ 设椭圆
的另一个焦点为
，试判断直线
与
的位置关系。若相交，求出交点坐标；若平行，求两直线之间的距离．

21（本小题满分14分）已知函数
，
，是常数．

⑴ 当
时，求
的单调区间；

⑵ 证明，
，函数
在区间
上有且仅有一个零点．

评分参考

一、选择题 ADCBA DDBCB

二、填空题⒒ ⒓每个梯形都不是等腰梯形（意思相同均给5分） ⒔
⒕
（填“
或”给3分，其他给0分） ⒖

三、解答题⒗解：⑴
……2分

……4分，
……5分

⑵由⑴知
的最大值
……7分

时，
……8分，

所以
，
，
……11分，（“
”1分）

所求自变量的集合为
……12分

⒘证明与求解：⑴依题意，BC⊥CC1，BC⊥AC，AC∩CC1=C，所以BC⊥平面ACC1A 1……3分，C1D平面ACC1A 1，所以BC⊥C1D……4分

A1C1=A1D=AD=AC，所以
……5分，

所以
，C1D⊥DC……6分，

因为BD∩CD=C，所以C1D⊥平面BDC……7分，

⑵三棱锥C-BC1D即三棱锥C1-BCD，由⑴知BC⊥CD……8分，

所以△BCD的面积
……10分

由⑴知，C1D是三棱锥C1-BCD底面BDC上的高，，其体积

……12分，
……14分

⒙证明与求解：⑴依题意，
……2分，

，
……4分，

……5分，所以，数列
是等比数列……6分

⑵由⑴得
……8分，所以
……9分

⑶
……10分

……12分

……13分，
……14分

⒚解：设甲、乙两校参加活动的人数分别为、……1分，

受到服务的老人的人数为
……2分，

依题意，、应满足的约束条件为
……6分

可行域为图中阴影部分中的整点，画直线
：
，并向右上方平移
到
，当
经过可行域的某点，且可行域内其他点都在直线
的、包含直线
的同一侧时，这一点的坐标使目标函数取最大值……7分

解方程组
……8分，

得
……9分，

满足约束条件，因此，当
，
时，取最大值……10分

……11分。

答：甲、乙两校参加活动的人数分别为6和5时，受到服务的老人最多，最多为43人。……12分

⒛解：⑴抛物线
即
的焦点
……2分，

依题意
，解得
……3分，

切线的斜率
……4分，

切线
方程为
，即
……5分，

依题意，
，解得
……6分，

所以
……7分，

椭圆
的方程为
……8分

⑵由⑴得
……9分，

直线
的方程为
……10分，即
……11分，

因为
，且
不在直线
上，所以直线
……12分，

与
之间的距离即为
到直线
的距离

……14分（列式1分，求值1分）

21解：⑴
时，
……1分，

解
得
，
……2分，

当
时，
；当
时，
；当
时，
……5分，

所以，
的单调递减区间为
，单调递增区间为
和
……6分

⑵（方法一）
，
……7分，
……8分，

因为
在区间
上是连续不断的曲线，且
，

所以
在区间
上有零点……9分

解
（
）得
（舍去），

……10分，

当
时，
……11分；

当
时，
……12分

因为
，所以
，
，
在区间
上无零点……13分

，
在
上单调减少，所以
在区间
上有且只有一个零点，从而在区间
上有且只有一个零点……14分。

（方法二）
，解
得

（舍去），
……7分

当
时，
……8分；

当
时，
……9分

因为
……10分，

所以
，
，
在区间
上无零点……11分。

因为
……12分，

，所以
在区间
上有零点……13分。

因为
在
上单调减少，所以
在区间
上有且只有一个零点，从而在区间
上有且只有一个零点……14分。