数学（理）答案

一、选择题：DDBDC DBDBC BA

二、填空题：13.
14. 13 15.
16.

三、解答题：

17. 解：（1）

．

所以
的最小正周期为．……………… 6分

（2）将
的图象向右平移
个单位，得到函数
的图象，

．

时，
，

当
，即
时，
取得最大值2；………… 9分

当
，即
时，
取得最小值
．…………12分

18. （1）证明：连接
、
，设
，

∵
为菱形，∴
，以
为原点，
，
为、轴正向，轴过
且平行于
，建立空间直角坐标系（图1），………… 2分

则
，

，
，………4分

∴
，
，∴
，
，

又
，∴
⊥平面
.………6分

（2）由知（1）
是平面
的一个法向量，

设
是平面
的一个法向量，

,由
,

得：
，……… 8分

取
，得
，于是

<,
>
………10分

但二面角—
—为锐二面角，

故其大小为
. …………12分

19.解：（1）点
都在函数
的图像上，

．……………… 2分

当
时，

当
时，
满足上式，

所以数列
的通项公式为
……………… 6分

（2）由
求导可得
，

因为过点
的切线的斜率为
，
，

，

两式相减得

………9分

．……………………… 12分

20.解：（1）由题意知，
，

将
代入化简得：

（
）. …………… 6分

（2）
，

当且仅当
时，上式取等号. …………… 9分

当
时, 促销费用投入1万元时，厂家的利润最大;

当
时,
在
上单调递增,

所以
时,函数有最大值．即促销费用投入万元时，厂家的利润最大 .

综上,当
时, 促销费用投入1万元，厂家的利润最大;

当
时, 促销费用投入万元，厂家的利润最大 .…… 12分

21.解：（1）
，

由
得
，
…… 3分

所以
：单调递增区间为
，
，

单调递减区间为
. …………… 6分

（2）若要命题成立，只须当
时，
.

由
可知， 当
时
,

所以只须
.…………… 8分

对
来说，
，

①当
时，

当
时，显然
，满足题意，

当
时，令
，

，所以
递减，所以
，满足题意，

所以
满足题意；…………… 10分

②当
时，
在
上单调递增，

所以

得
，…… 12分

综上所述，
.…………… 13分

22.解：(1)设点
,

设直线

,代入
并整理得

所以
………………… 2分

故有

解得
………………… 5分

又椭圆与双曲线有公共的焦点，故有

所以椭圆的方程为
. ……………………… 7分

(2)

证明：设
,则
,
且

将直线
的方程
代入椭圆的方程并整理得

……………… 9分

由题意可知此方程必有一根

,

所以
………… 12分

故有
, 即
……………………… 13分