台州中学2013学年第一学期期中试题

高三 数学（理科）

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

已知全集是，集合
和满足
，则下列结论中不成立的是（　　　）

A．
B．
C.

D．

2、设
则“
”是“复数
为纯虚数”的（　　　）

A．充分必要条件 　 　B．必要不充分条件

C.充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件

3、 已知数列
是1为首项、2为公差的等差数列，{bn}是1为首项、2为公比的等比数列．设
，Tn=c1+c2+…+cn（n∈N*），则当Tn＞2013时，n的最小值是（　　）

A．

7

B．

9

C．

10

D．

11



4、将函数
的图像向左平移
个单位，得到函数
的图像，则函

数
的一个单调递增区间是 ( )

A．
B．
C．
D．

5、已知函数
在
单调递减，则的取值范围( )

A.
B.
C.
D.

6、已知函数f（x）是定义在R上的增函数，则函数y＝f（｜x－1｜）－1的图象可能是

( )

7、若
是两个非零向量，且
，则
与
的夹角的取值范围是( )

A．
B.
C.
D.

8、设a、b是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，则下列四个命题

①若
②若

③
④

其中正确的命题的个数是（ ）

A．0个 B．1个 C．2个 D．3个

9、公差不为0的等差数列{
}的前21项的和等于前8项的和．若
，则k＝( )

A．20 B．21 C．22 D．23

10、记函数
的零点为，函数
的零点为
，函数
的零点为，则三个函数的零点大小关系为（ ）

A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．c＜a＜b D．b＜a＜c

二、 填空题：本大题共7小题, 每小题4分, 共28分。

11 、已知数列
的前n项和
=
________________.

12、某程序框图如右图所示，该程序运行后输出
的值是 .

13、若实数x,y满足不等式组
(其中k为常

数),且z=x+3y的最大值为12,则k的值等于 .

14、设
，且
，

，则
等于_________.

15、若
，则满足不等式
的ｍ

的取值范围为　　 　.

16、把边长为1的正方形ABCD沿对角线BD折起，形成三棱锥C－ABD，

它的主视图与俯视图如右图所示，则二面角 C－AB－D的正切值

为 .

17、如右图，在直角梯形ABCD中，AB//DC,AD⊥AB ,AD=DC=2,AB=3,

点
是梯形
内或边界上的一个动点，点N是DC边的中点，

则
的最大值是________.

(第17题图)

三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

18、（本小题满分14分）在
中,三个内角
所对边的长分别为
,已知
.

(1)判断
的形状;

(2)设向量
,若
,求
.

19、（本小题满分14分）已知数列{
}的前项和为Sn，且S4=4，当n≥2时，满足

（1）求证：{
}为等差数列；

（2）求
的值。

20．（本小题满分14分）如图，在
点
上，过点做
//
将
的位置（
），

使得
.



(1)求证：
. （2）试问：当点
上移动时，二面角
的平面角的余弦值是否为定值？若是，求出定值，若不是，说明理由．

21、（本小题满分15分）已知焦点在轴上的椭圆C1：
=1经过A(1，0)点，且离心率为
．(1)求椭圆C1的方程；

(2)过抛物线C2：
(h∈R)上P点的切线与椭圆C1交于两点M、N，记线段MN与PA的中点分别为G、H，当GH与轴平行时，求h的最小值．

22、（本小题满分15分）已知函数
.

（1）若
在
上的最大值为
，求实数
的值；

（2）若对任意
，都有
恒成立，求实数的取值范围；

（3）在（1）的条件下，设
，对任意给定的正实数，曲线
上是否存在两点、
，使得
是以
（
为坐标原点）为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在轴上？请说明理由。

2013学年第一学期高三数学期中考试试题(理科)答案

一、选择题： DACBD BABCB

二、 填空题：

11 、
12、12 13、
14、

15、
16、
17、6

三、解答题：

18、在
中,三个内角
所对边的长分别为
,已知
.

(1)判断
的形状;(2)设向量
,若
,求
.

解： (1)在
中 ,
,…………………4分

为等腰三角形 ……………………………………………………………7分

(2)由
,得

………………………………………………………………………………………11分

,又
为等腰三角形
. ……14分

19、已知数列{
}的前项和为Sn，且S4=4，当n≥2时，满足

（1）求证：{
}为等差数列；

（2）求
的值。

解：(1)

故有：
………………………………7分

（2）原式=

……………………………………………………………………………………14分

20．如图，在
点
上，过点做
//
将
的位置（
），

使得
.



(1)求证：
（2）试问：当点
上移动时，二面角
的平面角的余弦值是否为定值？若是，求出定值，若不是，说明理由．

解：（1）在
中，

又
平面PEB.

又
平面PEB,
………………5分

（2）解法一：过P作PQBE于点Q，垂足为Q；过Q作QHFC，垂足为H。则
即为所求二面角的平面角。……………………………………………………………8分

设PE=x，则EQ=
，PQ=
，………………………………………………10分

QH=
，…………………………………………………12分

故
，……………………………………………………13分

，即二面角P-FC-B的平面角的余弦值为定值
……14分

解法二：

在平面PEB内，经P点作PDBE于D，由（1）知EF面PEB,

EFPD. PD面BCEF.在面PEB内过点B作直线BH//PD,则BH面BCFE.以B点为坐标原点，
的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系. ………………6分

设PE=x（0＜x＜4）又

在
中，

………………………………………………………………………………………8分

从而

设
是平面PCF的一个法向量，由

得
取
得

是平面PFC的一个法向量. …………………………………11分

又平面BCF的一个法向量为
………………………………12分

设二面角
的平面角为，则

因此当点E在线段AB上移动时，二面角
的平面角的余弦值为定值

………………………………………………………………………………………14分

21、已知焦点在轴上的椭圆C1：
=1经过A(1，0)点，且离心率为
．

(I)求椭圆C1的方程；

(Ⅱ)过抛物线C2：
(h∈R)上P点的切线与椭圆C1交于两点M、N，记线段MN与PA的中点分别为G、H，当GH与轴平行时，求h的最小值．

解：（Ⅰ）由题意可得
，……………3分

解得
，

所以椭圆
的方程为
.………………5分

（Ⅱ）设
，由
，抛物线
在点处的切线的斜率为
, 所以
的方程为
,……………7分

代入椭圆方程得
,

化简得

又
与椭圆
有两个交点，故

①

设
，
中点横坐标为
，则

, …………………10分

设线段
的中点横坐标为
,

由已知得
即
， ②………………12分

显然
,
③

当
时，
，当且仅当
时取得等号，此时
不符合①式，故舍去；

当
时，
，当且仅当
时取得等号，此时
，满足①式。

综上，
的最小值为1.………………15分

22、已知函数
.

（1）若
在
上的最大值为
，求实数
的值；

（2）若对任意
，都有
恒成立，求实数的取值范围；

（3）在（1）的条件下，设
，对任意给定的正实数，曲线
上是否存在两点、
，使得
是以
（
为坐标原点）为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在轴上？请说明理由。

解：（1）由
，得
，

令
，得
或
．

列表如下：





0















0



0











极小值



极大值







∵
，
，
，

即最大值为
，
．………………………………………………4分

（2）由
，得
．

，且等号不能同时取，
，

恒成立，即
．

令
，求导得，
，

当
时，
，从而
，

在
上为增函数，
，
．………………………………8分

（3）由条件，
，

假设曲线
上存在两点
满足题意，则
只能在轴两侧，

不妨设
，则
，且
．

是以（为坐标原点）为直角顶点的直角三角形，

，

，……………………………………10分

是否存在
等价于方程
在
且
时是否有解．

①若
时，方程
为
，化简得
，

此方程无解； ………………………………………………………………………12分

②若
时，
方程为
，即
，

设
，则
，

显然，当
时，
，即
在
上为增函数，

的值域为
，即
，

当
时，方程
总有解．

对任意给定的正实数，曲线
上总存在两点
，使得
是以（为坐标原点）为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在轴上．………………15分