台州中学2013学年第一学期期中试题

高三 数学(文)

本试题卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟．

选择题部分（共50分）

参考公式：

球的表面积公式
=4
柱体的体积公式
=

球的体积公式
=

其中
表示柱体的底面积，
表示柱体的高

其中表示球的半径 台体的体积公式
=

(
+
+
)

锥体的体积公式
=

其中
，
分别表示台体的上、下底面积，

其中
表示锥体的底面积，
表示锥体的高 h表示台体的高

如果事件，互斥，那么 (+)= ()+ ()

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．已知全集
，
，则
（ ）

A．
B．
C．
D．

2．已知复数
，（为虚数单位），则
（ ）

A．1 B．
C．2 D．

3．设
，则 （ ）

A．
B．
C．
D．

4．函数
，
,则 （ ）

A．
为偶函数，且在
上单调递减 B．
为偶函数，且在
上单调递增

C．
为奇函数，且在
上单调递增 D．
为奇函数，且在
上单调递减

5．若等差数列
的前项和为
,已知
,
,则
（ ）

A．8 B．12 C．16 D．24

6.如图为一个几何体的三视图，尺寸如图所示，则该几何体的体积为 （ ）

A．
B．
C．
D．

7．设
是两个不同的平面，
是一条直线，以下命题正确的是 （ ）

A．若
，则
B．若
，则

C．若
，则
D．若
，则

8．数列
满足
（
且
），则“
”是“数列
成等差数列”的 （ ）

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件

9．右图是二次函数
的部分图象，则函数
的零点所在的区间是 （ ）

A.
B.
C.
D.

10．已知
，
分别为

的左、右焦点，为双曲线右支上任一点，

若
的最小值为
，则该双曲线的离心率的取值范围是（ ）

A．
B．
C．
D．

二、填空题：本大题有7小题，每小题4分，共28分．

11．已知函数
，则
．

12．根据《中华人民共和国道路交通安全法》规定：车辆驾驶员血液酒精浓度在20～80 mg/100ml（不含80）之间，属于酒后驾车；血液酒精浓度在80mg/100ml（含80）以上时，属醉酒驾车．据《法制晚报》报道，2012年2月1日至3月1日，全国查处酒后驾车和醉酒驾车共28800人，如下图是对这28800人酒后驾车血液中酒精含量进行检测所得结果的频率分布直方图，则属于醉酒驾车的人数约为 ．

13．一个口袋中装有2个白球和3个红球，每次从袋中摸出两个球，若摸出的两个球颜色相同为中奖，否则为不中奖，则中奖的概率为 ．

14．若直线
：
被圆
：
截得的弦长为4，则的值为 ．

15．设变量
满足约束条件：
，则
的最小值为 ．

16．在边长的等边
中，
,若是
所在平面内一点，且
为单位向量，则
的最大值为 ．

17．已知关于的不等式
有三个整数解,则实数的取值范围为 ．

三、解答题：本大题共5小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

18．（本小题满分14分）

已知△
中，
的对边分别为
且
.

（1）若
，求边的大小；

（2）若
，求△
的面积．

19．（本小题满分14分）

已知等比数列
为递增数列，且

，数列
,(
)

（1）求数列
的前项和
；

（2）
，求使
成立的最小值．

20.(本题满分14分）

如图，直角梯形
中，
//
，
,
,
,

丄底面
,
丄底面
且有
.

(1)求证:
丄
;

(2)若线段
的中点为
,求直线
与平面
所成角的正弦值.

21.（本小题满分15分）已知函数

（1）求
的单调区间；

（2）对任意的
，不等式
恒成立，求的取值范围.

22．（本题满分15分）已知抛物线
(
).抛物线上的点
到焦点的距离为2

(1)求抛物线的方程和的值；

(2)如图，是抛物线上的一点，过作圆
的两条切线交轴于
两点，若
的面积为
,求点坐标.

台州中学2013学年第一学期期中参考答案

高三 数学（文）

1-10CDBAB DACBC

11.1/2 12. 4320人13. 2/5 14.
15.-6 16.
17.

．…-------14分

19．解：（1）
是等比数列，
，两式相除得：

，
为增数列，
，
………………-------4分

--------6分

，数列
的前项和
---8分

（2）
=
=

即：
,

………………………………………………14分

（只要给出正确结果，不要求严格证明）

20.（Ⅱ）如图，过点M作
于N，连接AN.

又由
，
平面BCE. …9分

，可得
平面ABEF.

故
即为直线AM与平面ABEF所成角. …11分

又由
∽
，可得
；

且

， …13分

.

故直线AM与平面ABEF所成角的正弦值为
. …14分

当x变化时，f((x)、f(x)的变化如下：

x

(－∞，a－2)

a－2

(a－2，a)

a

(a，＋∞)



f((x)

＋

0

－

0

＋



f(x)

↗

极大值

↘

极小值

↗



所以f(x)的单调递增区间是(－∞，a－2)，(a，＋∞)，

单调递减区间是(a－2，a)． ………7分

（Ⅱ）由（Ⅰ）得[f(x)]极大＝f(a－2)＝4ea－2．

（1）当a≤1时，f(x)在(－∞，1]上的最大值为f(a－2)或f(1)

由
,解得－1≤a≤1；

（2）当a－2≤1＜a，即1＜a≤3时，f(x)在(－∞，1]上的最大值为f(a－2)，

此时f (a－2)＝4ea－2≤4e3－2＝4e；

综上,得取值范围
………14分

22．

[解] （Ⅰ）由抛物线定义易得
抛物线方程为
…5分

(2)设点
,当切线
斜率不存在,
,设切线
,

圆心
到切线距离为半径1,
不符合题意

同理当切线
斜率不存在,
, 当切线
,
斜率都存在.即
,

设切线方程为：
圆心
到切线距离为半径1,即
,

两边平方整理得:
韦达定理得:

则切线
, 切线
,得

……15分