一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)

1．设复数z＝1＋i(i是虚数单位)，则＋z2＝(　　)

A．－1－i B．－1＋i C．1－i D．1＋i

2．“函数y＝ax是增函数”是“log2a＞1”的(　　)

A．必要不充分条件 B．充分不必要条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

3．已知命题p：?a0∈R，曲线x2＋＝1为双曲线；命题q：x2－7x＋12＜0的解集是{x|3＜x＜4}．给出下列结论：①命题“p且q”是真命题；②命题“p且q”是假命题；③命题“p或q”是真命题；④命题“p或q”是假命题．其中正确的是 (　　)．

A．②③ B．① ③

C．②④ D．以上都不对

4．已知实数4，m, 1构成一个等比数列，则圆锥曲线＋y2＝1的离心率为(　　)

A. B. C.或 D.或3

(5题） （6题）

5．执行如图所示的程序框图，则输出的B的值为(　　)

A．63 B. 31 C．15 D．7

6．如图是依据某城市年龄在20岁到45
岁的居民上网情况调查而绘制的频率分布直方图，现已知年龄在[30,35)、[35,40)
、[40,45]的上网人数呈现递减的等差数列分布，则年龄在[35,40)的网民出现的频率为(　　)

A．0.04 B．0.06
C．0.2 D．0.3

7．已知等比数列{an}的首项为1，若4a1, 2a2，a3成等差数列，则数列的前5项和为(　　)

A. B．2 C. D.

8．已知l，m是不同的两条直线，α，β是不重合的两个平面，则下列命题中为真命题的是(　　)

A．若l⊥α，α⊥β，则l∥β B．若l⊥α，α∥β，m?β，则l⊥m

C．若l⊥m，α∥β，m?β，则l⊥α D．若l∥α，α⊥β，则l∥β

9.已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)＝2xf′(e)＋ln x，则f′(e)＝(　　)

A．1 B．－1 C．－e－1 D．－e

10．在平面直角坐标系中，若不等式组(a为常数)所表示的平面区域内的面积等于2，则a的值为(　　)

A．2 B．3 C．5 D．7

11．一个几何体的三视图如图所示，那么此
几何体的侧面积(单位：cm2)为

(　　)．

A．48 B．64 C．80 D．120

12．把正奇数数列依次按第一个括号一个数，第二个括号两个数，第三个括号三个数，第四个括号一个数，……，依次循环的规律分为(1)，(3,5)，(7,9,11)，(13)，(15,17)，(19,21,23)，(25)，…，则第50个括号内各数
之和为(　　)

A．98 B．197 C．390 D．392

二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填写在题中的横线上)

13.已知向量p＝(1，－2)，q＝(x,4)，且p∥q，则p·q的值为________．

14．给出
下列等式：观察各式：a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4，a4＋b4＝7，a5＋b5＝11，…，则依次类推可得a6＋b6＝________.

15．已知中心在原点的双曲线的顶点与焦点分别是椭圆＋＝1(a>b>0)的焦点与顶点，若双曲线的离心率为2，则椭圆离心率为________

16．在证明f(x)＝2x＋1为增函数的过程中，有下列四个命题：

①增函数的定义是大前提
；②增函数的定义是小前提；③函数f(x)＝2x＋1满足增函数的定义是小前提；④函数f(x)＝2x＋1满
足增函数的定义是大前提．

其中正确的命题是________

三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程及演算步骤)

17．(本小题满分12分)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知3cos(B－
C)－1＝6cos Bcos C.

(1)求cos A；

(2)若a＝3，△ABC的面积为2，求b，c.

18.

(本小题满分12分)某中学高三年级从甲、乙两个班级各选出7名学生参加数学基本公式大赛，他们取得的成绩(满分100分)的茎叶图如图，其中甲班学生的平均分是85，乙班学生成绩的中位数是83.

(1)求x和y的值；

(2)从成绩在9
0分以上的学生中随机抽取两名学生，求甲班至少有一名学生的概率．

19.(本小题满分12分)

在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝AC＝AA1＝3a，BC＝2a，D是BC的中点，E，F分别是A1A，C1C上一点，且AE＝CF＝2a.

(1)求证：B1F⊥平面ADF；

(2)求三棱锥B1－ADF的体积；

(3)求证：BE∥平面ADF.

20.(本小题满分12分)已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的两个焦点F1，F2和上下两个顶点B1，B2是一个边长为2且∠F1B1F2为60°的菱形的四个顶点．

(1)求椭圆C的方程；

(2)过右焦点F2斜率为k(k≠0)的直线l与椭圆C相交于E，F两点，A为椭
圆的右顶点，直线AE，AF分别交直线x＝3于点M，N，线段MN的中点为P，记直线PF2的斜率为k′.求证：k·k′为定值．

21.(本小题满分1
2分)已知函数f(x)＝xln x，g(x)＝－x2＋ax－3.

(1)求函数f(x)在[t，t＋2](t＞0)上的最小值；

(2)若存在x∈(e是自然对数的底数，e＝2.718 28…)使不等式2f(x)≥g(x)成立，求实数a的取值范围．

请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分．

22.[来源:学科网ZXXK]

(本小题满分10分)选修4－1：几何证明选讲

如图，梯形ABCD内接于圆O，AD∥BC，且AB＝CD，过点B引圆O的切线分别交DA、CA的延长线于点E、F.

(1)求证：CD2＝AE·BC；

(2)已知BC＝8，CD＝5，AF＝6，求EF的长．

23．(本小题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程

在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为(t为参数)，若以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C的极坐标方程为ρ＝cos.

(1)求直线l的普通方程与曲线C的直角坐标方程；

(2)求直线l被曲线C所截得的弦长．

24．(本小题满分10分)选修4－5：不等式选讲

已知函数f(x)＝|x－7|－|x－3|.

(1)作出函数f(x)的图象；

(2)当x＜5时，不等式|x－8|－|x－a|＞2恒成立，求实数a的取值范围．

文科数学答案

(2)由于0＜A＜π，所以sin A＝.

又S△ABC＝bcsin A＝2，解得bc＝6.①

由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccos A，得b2＋c2＝13.②

由①②两式联立可得b＝2，c＝3或b＝3，c＝2.

18解：(1)∵甲班学生
的平均分是85，

∴＝85.

∴x＝5.

∵乙班学生成绩的中位数是83，

∴y＝3.

为.

19解：(1)证明：∵AB＝AC，D为BC中点，

∴AD⊥BC.[来源:Zxxk.Com]

在直三棱柱ABC－A1B1C1中，

∵B1B⊥底面ABC，AD?底面ABC，∴AD⊥B1B.

∵BC∩B1B＝B，∴AD⊥平面B1BCC1.

∵B1F?平面B1BCC1，∴AD⊥B1F.

在矩形B1BCC1中，∵C1F＝CD＝a，B1C1＝CF＝2a，

∴Rt△DCF≌Rt△FC1B1.

∴∠CFD＝∠C1B1F.∴∠B1FD＝90°.∴B1F⊥FD.

∵AD∩FD＝D，∴B1F⊥平面AFD.

(2)∵B1F⊥平面AFD，

∴VB1－ADF＝·S△ADF·B1F＝××AD×DF×B1F＝.

(3)连EF，EC，设EC∩AF＝M，连DM，

∵AE＝CF＝2a，∴四边形AEFC为矩形，

∴M为EC中点．

∵D为BC中点，∴MD∥BE.

∵MD?平面ADF，BE?平面ADF，∴BE∥平面ADF.

20．解：(1)由条件知a＝2，b＝，故所求椭圆方程为＋＝1.

(2)设过点F2(1,0)的直线l方程为：y＝k(x－1)，设点E(x1，y1)，点F(x2，y2)，

将直线l方程y＝k(x－1)代入椭圆C：＋＝1，

整理得：(4k2＋3)x2－8k2x＋4k2－12＝0，

因为点F2在椭圆内，所以直线l和椭圆都相交，Δ＞0恒成立，且x1＋x2＝，x1x2＝.

直线AE的方程为：y＝(x－2)，直线AF的方程为：y＝(x－2)，令x＝3，得点M，N，所以点P的坐标

直线PF2的斜率为

k′＝

＝

＝·

＝·.

将x1＋x2＝，x1x2＝代入上式得：[来源:学科网ZXXK]

k′＝·＝－.

所以k·k′为定值－.

21．解：(1)由题意知f′(x)＝ln x＋1，当x∈时，

f′(x)＜0，此时f(x)单调递减；当x∈时，f′(x)＞0，此时f(x)单调递增．

当0＜t＜t＋2＜时，t无解；

当0＜t≤＜t＋2，即0＜t≤时，

f(x)min＝f＝－；

当＜t＜t＋2，即t＞时，f(x)在[t，t＋2]上单调递增，故f(x)min＝f(t)＝tln t.

所以f(x)min＝.

(2)由题意知2xln x≥－x2＋ax－3，

即a≤2ln x＋x＋，

设h(x)＝2ln x＋x＋(x＞0)，则h′(x)＝＋1－＝，

当x∈时，h′(x)＜0，此时h(x)单调递减；

当x∈(1，e]时，h′(x)＞0，此时h(x)
单调递增．

所以h(x)max＝max，因为存在x∈，使2f(x)≥g(x)成立，所以a≤h(x)max，

又h＝－2＋＋3e，h(e)＝2＋e＋，

故h＞h(e)，所以a≤＋3e－2.

22．解：(1)因为AD∥BC，所以∠EAB＝∠ABC.

又因为FB与圆O相切于点B，所以∠EBA＝∠ACB，所以△EAB∽△ABC，

所以＝，即AB2＝AE·BC，

因为AB＝CD，所以CD2＝AE·BC.

(2)由(1)得AE＝＝，因为AD∥BC，所以∠FAE＝∠ACB，又∠EBA＝∠ACB，

所以∠FAE＝∠EBA，∠F＝∠F
，所以△FEA∽△FAB，

所以＝，所以EF＝·AF＝.

23．解：(1)将直线l的参数方程(t为参数)化为普通方程为3x＋4y＋1＝0.

将曲线C的极坐标方程ρ＝cos化为直角坐标方程为x2＋y2－x＋y＝0.

(2)由(1)可知曲线C表示圆心为，半径为的圆，则圆心到直线l的距离d＝，

所以直线l被曲线C截得的弦长为2＝2＝.

24．解：(1)f(x)＝

图象如图所示：

(2)∵x＜5，∴不等式|x－8|－|x－a|＞2可化为8－x－|x－a|＞2，

∴|x－a|＜6－x对x＜5恒成立，[来源:Z_xx_k.Com][来源:学*科*网Z*X*X*K]

即x－6＜x－a＜6－x对x＜5恒成立，

∴对x＜5恒成立．

又∵x＜5时，2x－6＜4，∴4≤a＜6.

∴实数a的取值范围为[4,6)．