本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分,考试时间120分钟.

第I卷(选择题)（试题卷）

一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.复数＝

A.－i B.＋i C．1－i D．1＋i

2.已知集合A＝{(x，y)|x，y是实数，且x2＋y2＝1}，

B＝{(x，y)|x，y是实数，且y＝x}，则A∩B的元素个数为

A．0 B．1 C．2 D．3

3.右图是一个算法框图，则输出的k的值是

A. 3 B. 4

C. 5 D. 6

4.已知
为等比数列，
，
，

则

A . 7 B. 5 C . -5 D . -7

在长为12 cm的线段AB上任取一点C.现作一矩形，邻边长分别

等于线段AC，CB的长，则该矩形面积小于32 cm2的概率为

A.  B.  C.  D. 

6.如图，正方形ABCD的边长为1，延长BA至E，

使AE＝1，连结EC、ED，则sin∠CED＝

A. B. C. D. （第6题图）

7.将正方体(如图(a)所示)截去两个三棱锥，得到图(b)所示的

几何体，则该几何体的侧视图为

8.已知f(x)是定义在R上的偶函数，且以2为周期，则“f
(x)为[0,1]上

的增函数”是“f(x)为[3,4]上的减函数”的

A．既不充分也不必要条件 B．充分而不必要条件

C．必要而不充分条件 D．充要条件

9.椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右顶点分别是A，B，左、右焦点分别[来源:Zxxk.Com]

是F1，F2. 若|AF1|， | F1F2|，|F1B|成等比数列，则此椭圆的离心率为

 B. C. D.－
2

10.设
，若函数
，
有大于零的极值点，则

A．
B．
C．
D．

11．已知双曲线x2－＝1的左顶点为A1，右焦点为F2，P为双曲线右支上

一 点，则·的最小值为

－2 B．－ C．1 D．0

第Ⅱ卷（非选择题 共90分）

填空题：(本大题共4小题，每小题5分，共20分).

13.若f(x)＝2sin ωx(0<ω<1)在区间上的最大值是，则ω＝________.

14. 若将函数f(x)＝x5表示为f(x)＝a0＋a1(1＋x)＋a2(1＋x)2＋…＋a5(1 ＋x)5，

其中a0，a1，a2，…，a5为实数，则a3＝________.

15. 函数
为常数）在
上有最大值3，那么

此函数在
上的最小值为_________________.

若向量a＝(cos α，sin α)，b＝(cos β，sin β)，且α－β＝kπ(k∈Z)，

则a与b一定满足：①a与b夹角等于α－β；②|a|＝|b|；③a∥b；④a⊥b.

其中正确结论的序号为________．

三、解答题：（本大题共6小题，共70分）.

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 .

17．(本小题满分10分)

已知等差数列{an}的前n项和为Sn，S5＝35，a5和a7的等差中项为13.

( 1)求
an及Sn；

(2)令bn＝(n∈N*)，求数列{bn}的前n

18.(本小题满分12分)

如图，在底面为直角梯形的四棱锥P－ ABCD中， AD∥BC，∠ABC ＝90°， PA ⊥平面ABCD，

PA＝3，AD＝2，AB＝2，BC＝6.

(1)求证：BD⊥平面PAC；

(2)求二面角P－BD－A的大小．

19.(本小题
满分12分）

设ξ为随机变量，从棱长为1的正方体的12条棱中任取两条，当两条棱相交时，ξ＝0 ；当两条棱平行时，ξ的值为两条棱之间的距离；当两条棱异面时，ξ＝1.

(1)求概率P(ξ＝0)；

(2)求ξ的分布列，并求其数学期望E(ξ)．

20. (本小题满分12分)

在平面直角坐标系xOy中，直线l与抛物线y2＝4x相交于不同的A，B两点．

( 1)如果直线l过抛物线的焦点，求·的值；

(2)如果·＝－4，证明：直线l必过一定点，并求出该定点．

21. (本小题满分12分）

请从
下面所给的第22、23、24三题中选定一题作答，多答按所答第一题评分.[来源:学,科,网Z,X,X,K]

22．4-1平面几何选讲(本小题满分10分）

如图，⊙O和⊙O′相交于A，B两点，过A作两圆的切线分别交两圆于C，D两点，
连结DB并延长交⊙O于点E.

证明：(1)AC·BD＝AD·AB； (2)AC＝AE.

23.4-4极坐标参数方程选讲(本小题满分10分）

在平面直角坐标系中，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知直线l上两点M，N的极坐标分别为(2,0)，，圆C的参数方程为(θ为参数)．

(1)设P为线段MN的中点，求直线OP的平面直角坐标方程； (
2)判断直线l与圆C的位置关系．

24.4-5不等式选讲(本小题满分10分）

已知函数
f(x)＝m－|x－2|，m∈R，且f(x＋2)≥0的解集为[－1,1]．

求m的值； (2)若a，b，c∈R＋，且＋＋＝m，求证：a＋2b＋3c≥9.

 QXYZ高三年级第四次模拟考试

高三数学答案(理科)

三．解答题:

所以Tn＝＋＋…＋＝
1－＝

18．(1)证明　如图，建立空间直角坐标系，

则A(0,0,0)，B(2，0,0)，

C(2，6,0)，D(0,2,0)，P(0,0,3)，

∴＝(0,0,3)，＝(2，6,0)，

＝(－2，2,0)．[来源:Z*xx*k.Com]

∴·＝0，·＝0.∴BD⊥AP，BD⊥AC.

又∵PA∩AC＝A，∴BD⊥面PAC.

19.解：解　(1)若两条棱相交，则交点必为正方体8个顶点中的1个，过任意1个顶点恰有3条棱，所以共有8C对相交棱，因此P(ξ＝0)＝＝＝.

(2)若两条棱平行，则它们的距离为1或，其中距离为的共有6对，故P(ξ＝)＝＝，

于是P(ξ＝1)＝1－P(ξ＝0)－P(ξ＝)＝1－－＝，

所以随机变量ξ的分布列是

ξ

0

1





P









因此E(ξ)＝1×＋×＝.

20.(1)解　由题意：抛物线焦点为(1,0)，

设l：x
＝ty＋1，代入抛物线y2＝4x，消去x得y2－4ty－4＝0，

设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝4t，y1y2＝－4，

∴·＝x1x2＋y1y2＝(ty1＋1)(ty2＋1)＋y1y2

＝t2y1y2＋t(y1＋y2)＋1＋y1y2＝－4t2＋4t2＋1－4＝－3.

(2)证明　设l：x＝ty＋b，代入抛
物线y2＝4x，

消去x得y2－4ty－4b＝0，

设A(x1，y1)，B(x2，y2)，

则y1＋y2＝4t，y1y2＝－4b，

∴·＝x1x2＋y1y2＝(ty1＋b)(ty2＋b)＋y1y2

＝t2y1y2＋bt(y1＋y2)＋b2＋y1y2

＝－4bt2＋4bt2＋b2－4b＝b2－4b.

令b2－4b＝－4，∴b2－4b＋4＝0，∴b＝2，

∴直线l过定点(2,0)．

22.

证明　(1)由A
C与⊙O′相切于A，得∠CAB＝∠ADB，

同理∠ACB＝∠DAB，所以△ACB∽△DAB.

从而＝，即AC·BD＝AD·AB.

(2)由AD与⊙O相切于A，得∠AED＝∠BAD，

又∠
ADE＝∠BDA，得△EAD∽△ABD.

从而＝，即AE·BD＝AD·AB.

结合(1)的结论知，AC＝AE.

23.解　(1)由题意
知，M，N的平面直角坐标分别为(2,0)，[来源:学科网ZXXK]

.又P为线段MN的中点，从而点P的平面直角坐标为，

故直线OP的直角坐标方程为y＝x.

(2)因为直线l上两点M，N的平面直角坐标分别为(2,0)，，

所以直线l的平面直角坐标方程为x＋3y－2＝0.

又圆C的圆心坐标为(2，－)，半径r＝2，

圆心到直线l的距离d＝＝＜r.

故直线l与圆C相交．

24.解　(1)因为f(x＋2)＝m－|x|，所以f(x＋2)≥0等价于|
x|≤m，

由|x|≤m有解，得m≥0，且其解集为{x|－m≤x≤m}．

又f(x＋2)≥0的解集为[－1,1]，故m＝1.

(2)由(1)知＋＋＝1，又a，b，c∈R＋，由柯西不等式得

a＋2b＋3c＝(a＋2b＋3c)≥2＝9[来源:学|科|网Z|X|X|K]